矩阵的初等变换

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1、高等院校非数学类本科数学课程大学数学（3）第四讲矩阵的初等变换脚本编写：彭亚新教案制作：彭亚新——线性代数第二章矩阵理论第二节矩阵的初等变换本节教学要求：▲理解矩阵初等变换的概念。▲知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联系。▲能熟练地运用初等变换将矩阵化为标准形和阶梯形。▲理解矩阵的秩的概念。知道初等变换不改变秩的原理。▲能熟练地计算矩阵的秩。一.矩阵的标准形、阶梯形二.矩阵的秩三.矩阵的初等变换第二节矩阵的初等变换四.初等矩阵一.矩阵的标准形、阶梯形1.矩阵的标准形2.阶梯形矩阵二.矩阵的秩例解例解例解定理1定理2例解例解三.矩阵的初等变换高斯

2、J.C.F.Gauss1777—1855高斯消元法反映在矩阵的运算上为:这些就是矩阵关于“行”的初等变换。对“行”施行的变换称为“行变换”;对“列”施行的变换称为“列变换”。矩阵的初等变换是可逆的。定理获证保秩性定理告诉我们，可以运用初等变换求矩阵的秩。例解如果高兴,可以化为标准形。四.初等矩阵初等矩阵的类型——产生过程初等矩阵的类型——产生过程初等矩阵的类型——产生过程例例行左列右高斯J.C.F.Gauss1777—1855高斯是18世纪末与19世纪初最伟大的德国数学家，他的贡献遍及纯粹数学和应用数学的各个领域。高斯的名字是数学告别传统数学，走向

3、现代数学的时代象征。“如果我们把18世纪的数学家们想象为一系列的崇山峻岭，那么最后一座令人肃然起敬的颠峰就是高斯。”高斯被认为是历史上出现的少有的神童。据传说，高斯在三岁时就能发现父亲作帐时的错误。高斯7岁入学，学习十分刻苦，常常在小油灯下演算到深夜。十岁时他的超群的数学思维能力就已显现出来。在当地公爵的资助下，不满15岁的高斯进入卡罗琳学院。他很快就掌握了微积分理论，并在最小二乘法和数论的二次互反律的研究中取得成果，从而开始了他的数学创造生涯。1795年高斯来到哥廷根大学学习。19岁时，他解决了仅用直尺和圆规作出正17边形的数学难题，轰动了当时的

4、整个数学界。22岁高斯证明了当时许多数学家想证而不会证明的代数基本定理，为此他获得了博士学位。1807年高斯在哥廷根大学担任数学和天文学教授，并任该校天文台台长。高斯被认为是非欧几何学的创始人之一，这是因为他是最先认识到非欧几何可以用来描述物质空间的数学家。高斯从15岁时（1792年）就认识到能够存在一种逻辑几何思想，在其中欧几里得的平行公理不成立。1799年底，高斯开始相信欧几里得的平行公理不能从其余的公理中推出。1813年高斯进一步发展了他的新几何，并称之为反欧几里得几何，后又称之为星空几何，最后才称为非欧几里得几何，简称为非欧几何。高斯深信非

5、欧几何在逻辑上是相容的，是能够实际应用的，并专门进行了实际测量。高斯生前关于非欧几何的笔记、信件等一直没有发表。他的“宁可少些，但要好些”的信条使他对自己的发现力求尽善尽美。他认为对非欧几何的研究还未能达到这一点，所以一直不愿意发表这方面的研究成果。直到1855年高斯去世后，这些有关非欧几何的研究的成果才被收入到高斯文集中出版，而这已是后来公认的非欧几何创始人罗巴切夫斯基（俄国人，数学硕士，喀山大学的校长）和鲍耶（高斯的大学同学、密友，匈牙利人）发表研究成果30年以后的事了。高斯在数学王国里处处留芳，在数学的许多领域内都有卓越的建树：数论、超几何级

6、数、复变函数论、椭圆函数论、统计数学、向量分析、微分几何（只是他将数学应用于实际时的产物）等等。高斯花费较多的时间和精力研究数论，他认为“数学是科学之王，数论是数学之王”。他在数论方面的研究工作对数论的发展影响深远。19世纪，德国在代数数论方面取得突飞猛进的发展，是与高斯的贡献分不开的。高斯除了进行纯粹数学研究外，还十分重视数学的应用。他的大量的著作都与天文学、大地测量学、物理学有关。19世纪的第一个凌晨，天文学家皮亚齐发现了一颗无尾彗星，为了确定这一发现，他一连追踪观察了41天后因疲劳过度而病倒。当皮亚齐将观测结果告诉其他天文学家时，这颗无尾彗星

7、已在太空中消逝得无影无踪。高斯（24岁）得知后，经过几个星期的苦心钻研，创建了行星轨道计算方法，根据计算结果重新找到了这颗无尾彗星，显示了数学的威力。高斯在电磁学、光学方面也有杰出的贡献。高斯与韦伯共同享有电磁波发明者的殊荣。此外，磁通量密度单位就是以高斯的名字命名的。高斯是一位严谨的科学家，工作刻苦、踏实，精益求精，对待研究的结果始终是十分慎重的。他生前只发表了155篇论文，还有大量的研究成果没有发表。在清理高斯的遗物时人们发现，后来研究的许多数学成果是高斯早在半个世纪前就已经研究过了。由于高斯的过于谨慎和不轻易发表研究结果，使得他对当时数学的发

8、展没有作出应有的贡献，产生应有的影响。他与青年数学家缺少接触，缺乏思想交流，在他的周围没有形成一个人才济济，思想活跃的学派