矩阵的初等变换

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1、矩阵的初等变换定义矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：(3)把矩阵第i行（列）的k倍加到第j行（列），记为(1)互换矩阵中i,j两行（列）的位置，记为(2)用非零常数k乘矩阵的第i行（列），记为矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。行变写在箭号上方列变写在箭号下方第六节矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换与初等矩阵定理任何矩阵Ａ都可经过有限次初等变换化为如下形式的矩阵：称为矩阵A的等价标准形矩阵在初等变换下的标准形（有限次初等变换）即例（书上P55）由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着

2、三种初等矩阵.初等矩阵i行j行i行j行i行与j行互换(i列)(j列)(1)互换矩阵i行(2)倍法矩阵i行k倍(i列)j行k倍加到i行(i列)(j列)(3)倍加矩阵iji行j行性质(1)初等矩阵的转置矩阵仍为同类型初等矩阵；(2)初等矩阵均为可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为同类型的初等矩阵，有(3)方阵A可逆A可表为有限个初等矩阵的乘积（证明略）初等变换与初等矩阵的关系定理1设A=(aij)是mn矩阵，则(1)对A进行一次行初等变换，相当于用一个相应的m阶初等矩阵左乘A;(2)对A进行一次列初等变换，相当于用一个相应的n阶的初等矩阵右乘

3、A.左行右列“箭号”改“等号”左行右列“等号”改“箭号”左行右列例1设将A的第一、二行互换和将A的第一列的–2倍加到第二列，试用含初等矩阵的乘法将这两种变换的结果表示出来.例2计算E(1,2)A33，其中1.初等行变换法（1）求A-1分析一：A-1A=EA-1E=A-1设A-1=P1P2…Ps，Pi为初等矩阵初等行变换AEEA-1初等行变换相同的行变二、求逆矩阵的初等变换法n2n矩阵(A,E).对矩阵(A,E)作一系列的行初部分就是A-1。即(A,E)初等行变换(E,A-1)设计求法：将A与E并排放在一起，组成一个等变换，将其

4、左半部分化为单位矩阵E，这时其右半分析二：应用分块乘法A-1(A,E)=(E,A-1)设A-1=P1P2…Ps，Pi为初等矩阵例3证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵：解若不能化到单位矩阵E，则A不可逆。分析：设A-1=P1P2…Ps，Pi为初等矩阵（2）求A-1B(A,B)初等行变换(E,A-1B)解矩阵方程AX=BA-1(A,B)=(E,A-1B)例4求解矩阵方程AX=A+2X,其中例3和例4是一种用初等行变换求A-1或A-1B的方法，当A为三阶或更高阶的矩阵时，求A-1或A-1B通常都用此方法.这是当A为可逆矩阵时，求解方程AX=

5、B的方法（求A-1也就是求方程AX=E的解）.这方法就是把方程AX=B的增广矩阵(A,B)化为行最简形，从而求得方程的解.这与求解线性方程组AX=b时把增广矩阵(A,b)化为行最简形的方法是一样的.(1)求列变(2)求列变解矩阵方程XA=B2.初等列变换法