矩阵的初等变换课件

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1、1矩阵的初等变换定义初等行(列)变换:1°交换矩阵的两行(列),记为2°将矩阵的某行(列)的各元素乘以同一个非零的数k,记为3°将矩阵某行(列)的各元素乘以同一个数后加至另一行的对应元素上去,记为§2.1矩阵的初等变换定义(行阶梯形矩阵)1°如果A有零行，零行在非零行下方，2°A的第k个非零行的第一个非零元在第jk列,共有r个非零行,则则称A为行阶梯形矩阵定义（规范的行阶梯形矩阵）指满足下面条件的行阶梯形矩阵1°每个非零行的第一个非零元素为12°每个非零行的第一个非零元素所在的列的其他元素都为0111定理1任何矩阵可以经过单纯的行初等变换化为行阶梯形矩阵定理2任何矩阵可以经过单纯的行初

2、等变换化为规范的行阶梯形矩阵例1用初等行变换化如下矩阵为行阶梯形矩阵方法:逐列检查阶梯形矩阵规范的行阶梯形矩阵1111矩阵秩的性质:1°唯一性2°3°若矩阵A有一个r阶子式不为零,则4°若矩阵A所有的r阶子式都为零,则5°6°行阶梯型矩阵的秩等于其非零行的数目7°n阶可逆矩阵的秩等于n推论可逆矩阵的标准形矩阵(规范的阶梯形矩阵)为单位矩阵推论设矩阵r(A)=r,则A的标准形矩阵为定理初等变换不改变矩阵的秩求矩阵的秩的方法将矩阵化为阶梯形矩阵阶梯形矩阵的非零行数即为矩阵的秩例2求矩阵A的秩解故3初等矩阵定义单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵有三种类型的初等矩阵定理用一个m（

3、n）阶初等矩阵左（右）乘一个mn矩阵，相当于对这个矩阵作相应的初等行（列）变换推论初等矩阵都是可逆矩阵且其逆矩阵也是同类型的初等矩阵定理设A为mn矩阵，则存在初等矩阵s.t.为(规范的)阶梯形矩阵.存在初等矩阵s.t.为标准形矩阵推论对mn矩阵A，存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Qs.t.推论设A为mn矩阵，P为m阶可逆矩阵，Q为n阶可逆矩阵，则推论若A是可逆矩阵，则存在初等矩阵s.t.推论n阶矩阵可逆它可以表示成初等矩阵的乘积——求逆矩阵的初等变换法例3设判断矩阵A是否可逆，若可逆，求解构造矩阵例4用初等变换法解矩阵方程初等行变换解例5用初等变换法解矩阵方程分析设原方程为则例

4、6设将A表示成初等矩阵的乘积解例7设A为矩阵,证明:矩阵P,r(P)=r矩阵Q,r(Q)=r证