矩阵的初等变换与初等矩阵课件.ppt

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1、一、初等变换二、初等矩阵三、求逆矩阵的初等行变换法初等矩阵的作用、初等矩阵的可逆性下页第5节矩阵的初等变换与初等矩阵5.1初等变换交换第i行与第j行记为rirj.15-1-11-2131-93738-111-2131-937r2r4———15-1-138-11定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.例如下页-113-1交换第i列与第j列记为cicj.15-1-11

2、-2131-93738-11c1c3———5-2-98-13711113例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.用数k乘以第i行记为kri.15-1-11-2131-93738-114r2———44-8121-15-113-973-181例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以

3、数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.用数k乘以第i列记为kci.15-1-11-2131-93738-114c3———-4412-415-11-231-97381例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.第i行的k倍加到第j行记为rj+kri.15-1-11-2131-93738-11r3-3r1———

4、15-1-11-2131-9370-724例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.第i列的k倍加到第j列记为cj+kci.15-1-11-2131-93738-11c3+c1———024215-11-231-97381例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(

5、列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.定理3任意一个矩阵都可以经过一系列的初等变换化成下述形式它称为矩阵A的标准形（1的个数可以是零）.下页下页2101000041-16r2↔r12101100-1—0046r2-2r10103—100-100461/4c3004—010100306006010100004—c4+c1c4-3c2例如：000010100001—c4-6c3定义2对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）.初等矩阵有下列三种：E(

6、i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).=E(2,4)例如，下面是几个4阶初等矩阵：1000010000100001E=0001100000100100r2r4———=E(2,4)1000010000100001E=0001100000100100c2c4———下页5.2初等矩阵=E(3(4))1000010000100001E=00401000010000014r3———=E(3(4))1000010000100001E=00401000100000014c3———下页定义2对

7、单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）.初等矩阵有下列三种：E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).5.2初等矩阵例如，下面是几个4阶初等矩阵：=E(2,4(k))1000010000100001E=010k100000100001r2+kr4———=ET(2,4(k))1000010000100001E=100000010001010kc2+kc4———下页定义2对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）.初等矩阵有下列三种：E(i,j

8、)、E(i(k))、E(j,i(k)).5.2初等矩阵例如，下面是几个4阶初等矩阵：初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵.初等矩阵的可逆性E(j,i(k))-1=E(j,i(-k)).E(i(k))-1=E(i(k-1))；E(i,j)-1=E(i,j)；这是因为，初等矩阵的行列式及逆矩阵分别为:下页

9、E(j,i(k))

10、=1.

11、E(i(k))

12、=k(k≠0)；

13、E(i,j)

14、=-1；E(1,2)A==与交换A的第一行(列)与第二行(列)所得结果相同.AE(1,2)==例