初等变换与初等矩阵

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1、§2.5初等变换与初等矩阵一、矩阵的初等变换三、初等矩阵四、等价五、利用初等变换求逆矩阵二、行阶梯形与标准形一、矩阵的初等变换所谓矩阵的初等变换来源于对线性方程组的同解变换。前面几节主要介绍了矩阵与矩阵之间以及矩阵与(实)数之间的代数运算关系。本节则主要介绍矩阵内部元素与元素之间、行与行之间以及列与列之间的操作关系。下面三种变换称为矩阵的初等行变换:(记为)(记为)一、矩阵的初等变换(记为)(1)交换(或对调)两行；(3)某行的k倍加到另一行上。(2)将某行k倍；矩阵的行初等变换与列初等变换统称为初等变换．同样可定义列初等变换(所用记号是把“r”换成“c”).定义

2、“→”连接，不可用“=”连接。注意对矩阵进行初等变换时，所得矩阵和原矩阵之间用例利用初等变换“化简”矩阵记为二、行阶梯形与标准形1.行阶梯形称矩阵A为行阶梯形，如果满足如下条件：(1)若A有零行，则零行位于最下方。(2)每个非零行的第一个非零元(即非零首元)的列号定义严格大于上一行的非零首元的列号.二、行阶梯形与标准形1.行阶梯形而不是阶梯形矩阵.下列矩阵都是阶梯形矩阵：例如二、行阶梯形与标准形1.行阶梯形2.行标准形称矩阵A为行标准形，如果满足如下条件：(1)A为行阶梯形；(2)每个非零行的非零首元为1.定义(3)每个非零行的非零首元所在列的其余元素全为0.矩阵

3、为行标准形.例如二、行阶梯形与标准形1.行阶梯形2.标准行阶梯形3.标准形称矩阵A为标准形,如果A的左上角为单位阵,其余的定义元素全为0，即二、行阶梯形与标准形1.行阶梯形2.标准行阶梯形3.标准形4.结论(1)对于任何矩阵，经过初等行变换总可以变为行阶梯形；(2)进一步，经过初等行变换总可以变为行标准形；(3)更进一步，经过初等变换总可以变成标准形.下面从另一个角度来认识初等变换，变为对矩阵的运算。并把对矩阵的操作三、初等矩阵引例单位阵交换两行左乘矩阵矩阵被交换两行单位阵交换两列右乘矩阵矩阵被交换两列单位矩阵I经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换

4、对应着三类初等矩阵三、初等矩阵定义(1)交换单位矩阵的两行(列)；(3)将单位矩阵某行(列)的k倍加到另一行(列)上。(2)将单位矩阵某行(列)k倍；三、初等矩阵(1)交换单位矩阵的两行(列)；第i列第j列第i行第j行1.三类初等矩阵三、初等矩阵(1)交换单位矩阵的两行(列)；1.三类初等矩阵(2)将单位矩阵某行(列)k倍；第i列第i行三、初等矩阵(1)交换单位矩阵的两行(列)；1.三类初等矩阵(2)将单位矩阵某行(列)k倍；(3)将单位矩阵某行(列)的k倍加到另一行(列)上。第j行第i行第i列第j列(1)对A施行一次初等行变换，三、初等矩阵1.三类初等矩阵2.初

5、等矩阵的作用定理设A是一个阶矩阵，(2)对A施行一次初等列变换，证明(略)注孤立地看一个初等阵，它既可以是一个行初等阵,又可以是一个列初等阵。因此关键是要看它乘在矩阵的哪一边。相当于在A的左边乘以相应的m阶行初等矩阵；相当于在A的右边乘以相应的n阶列初等矩阵。三、初等矩阵1.三类初等矩阵2.初等矩阵的作用结论(1)任何矩阵左乘一系列行初等阵总可以变为行阶梯形;(2)进一步左乘一系列行初等总可以变为行标准形；(3)更进一步右乘一系列列初等总可以变成标准形.这里所说的“变为”不再是“→”而是“=”。注意？I，三、初等矩阵1.三类初等矩阵2.初等矩阵的作用3.初等矩阵的

6、逆矩阵慕容复斗转星移术以彼之道还施彼身？I，？I，对列初等阵有类似的结果。可见，初等矩阵都可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵。则称矩阵B为A的等价标准形.四、等价定义(1)如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，记作性质(1)反身性，(2)对称性，(3)传递性，即若则则若与B等价，(2)如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵1.等价的定义与性质等价相似合同则称A四、等价1.等价的定义与性质2.关于可逆方阵的几个结论定理(3)仅用初等行变换就可以将A化为单位矩阵.(2)A一定可以表示成一些初等矩阵的乘积；(1)A一定等价于单位矩阵；设A为n阶可逆方阵，则证明即A一定可以表示成一些

7、初等矩阵的乘积.(1)一定存在初等矩阵和使得由A可逆且初等矩阵可逆有即得(2)由上式可得即仅用初等行变换就可以将A化为单位矩阵.(3)由可得例将矩阵表示成有限个初等初阵的乘积。解其中四、等价1.等价的定义与性质2.关于可逆方阵的几个结论3.对于一般矩阵的几个结论定理(1)设A,B为m×n矩阵，则A和B等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，PAQ=B.(2)对于矩阵Am×n,一定存在可逆矩阵,(可作为矩阵等价的另一种定义)使得使得五、利用初等变换求逆矩阵设A为可逆矩阵，则仅用初等行变换就可以将A化为即1.原理即存在初等矩阵，使得单位矩阵.求解系数阵为A

8、,右端项分