线性代数：初等变换与初等矩阵.ppt

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1、第2.5节初等变换与初等矩阵一.矩阵的初等变换二.初等矩阵四.小结思考题三.用矩阵的初等变换求逆矩阵定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:一、矩阵的初等变换定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．定义3一个矩阵称为行阶梯形矩阵,如果从第一行起,每行第一个非零元前面零的个数逐行增加,一旦出现零行,则后面各行(若还有的话)都是零行.定义4如果行阶梯形矩阵满足下列两个条件:(1)非零行的首非零元为1;(2)所有首非零元所在的列其余元素都是零.则称

2、之为行标准形矩阵(或行简化阶梯形矩阵).用矩阵的初等行变换化下列矩阵为行阶梯形矩阵,进而化为行标准形矩阵.特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．行标准(行最简)形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．例如，特点：定义5由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.二、初等矩阵的概念定理1设是一个矩阵，对施行一次初

3、等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵三.用矩阵的初等变换求逆矩阵结论:初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵.等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价．定理2设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵证即利用初等变换求逆阵的方法：解例１即初等行变换例２解四、小结２.单位矩阵初等矩阵.一次初等变换３.利用初等变换求逆阵的步骤是:１．矩阵的初等变换练习2.5P62判断下列命题是否正确：(1)初等矩阵的乘积仍是初等矩阵；(2

4、)单位矩阵是初等矩阵；(3)初等矩阵的转置还是初等矩阵；(4)初等矩阵的伴随矩阵还是初等矩阵；(5)可逆矩阵只经过列初等变换变可化为单位矩阵．（对）(对）（对）（错）（错）