线性代数 第1.2课初等变换与初等矩阵

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1、第2节矩阵的初等变换与初等矩阵1.2.1矩阵的初等变换1.2.2初等矩阵1.2.3用初等行变换求逆矩阵线性方程组的同解变换对于(1.1)式所示的线性方程组,可做如下的三种变换:(1)互换两个方程的位置;(2)把某一个方程两边同乘以一个非零常数c;(3)将某一个方程加上另一个方程的k倍.称为线性方程组的初等变换.以上初等变换是可逆的.这个定理在矩阵中如何体现呢？(1.1)1.2.1:矩阵的初等变换初等行变换row初等列变换column交换i,j两行数乘第i行数乘第i行加到第j行交换i,j两列数乘第i列数乘第i列加到第j列矩阵A经过初等变换后化为矩阵B,表示为:习惯上,在箭头上面写

2、出行变换,在箭头的下面写出列变换.例如：例1.7(P11)初等变换把矩阵变成行阶梯形，得到它代表的同解方程组例1.7(P11)初等变换把矩阵变成行阶梯形，得到它代表的同解方程组从最后一个方程出发，可以求得原方程组的解为1.2.2:定义1.9由单位矩阵I经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.初等矩阵有三种类型:(1)对调I中第i,j行,得到的矩阵记为:Rij;对调I中的第i,j列,得到的矩阵记为:Cij.故:1010111ijijRijCij==初等矩阵用不为零的数λ乘以I中的第i行,得到的矩阵记为Ri(λ);用不为零的数λ乘以I中的第i列,得到的矩阵记为Ci(λ).1111R

3、i(λ)Ci(λ)==λii以数λ乘以I中的第i行加到第j行上去,得到的矩阵，记为Rij(λ);以数λ乘以I中的第j列加到第i列上去,得到的矩阵,记为Cji(λ),则有:1111λRij(λ)Cji(λ)==ijij初等矩阵是可逆的,并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵,易验证:Rij-1=Rij；(Ri(λ))-1=Ri(1/λ)；(Rij(λ))-1=Rij(-λ).定理1.2有限个初等矩阵的乘积必可逆.用初等矩阵左乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等行变换。用初等矩阵右乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等列变换.(初等矩阵与初等变换的关系,左行右列)ExampleB

4、ACK定理1.3可逆矩阵经过有限次初等变换得到的矩阵仍然是可逆阵.(证明)定理1.4可逆矩阵可以经过有限次初等行变换化为单位阵.(P13)(证明)定理1.5方阵P为可逆阵的充分必要条件是P可以表示为有限个初等矩阵的乘积.（证明）一般地,矩阵A经过有限次初等变换后得到B,可以记为B=PAQ,其中P是有限次初等行变换所对应的初等矩阵的乘积,Q是有限次初等列变换所对应的初等矩阵的乘积.1.2.3:由定理1.5可知,可逆矩阵A可以分解成若干初等矩阵的乘积,设:A=P1P2….Pt则有:上两式表明,对矩阵A与I施行同样的行变换,在把A化成单位矩阵时,I同时就化成A-1,因此,通常将A与I

5、按照行的方向组合成一个大矩阵,对大矩阵施行同样的行变换,即得:Pt-1……P2-1P1-1A=I,且Pt-1……P2-1P1-1I=A-1初等变换求逆矩阵Pt-1……P2-1P1-1(AI)=(IA-1)设A=，解求A－１.r2+r1r3-3r1r3+5r2例1.8所以A－1=注意在求逆矩阵的过程中，初等行变换与初等列变换不能混用。例求矩阵的逆。解同理,可以用初等列变换来求逆矩阵,在这样做时,应是对形为:A…E的矩阵作初等列变换,在将A化为E的同时,E就变成了所要求的逆矩阵A-1.(求逆矩阵的过程中,初等行与列变换不能混用.)练一练求矩阵的逆。求矩阵的逆。解初等变换与初等矩阵小

6、结线性方程组的同解变换矩阵的初等变换初等矩阵初等行（列）变换求逆矩阵Rij=CijRi(λ)=Ci(λ)Rij(λ)=Cij(λ)作业P34:1.6;1.7(4)(6);BACK证明：定理1.3设A可逆，B=PAQ，P、Q分别为有限个初等矩阵的乘积，因而可逆，由逆方阵的性质可知B可逆，且有：B-1=Q-1A-1P-1BACK定理1.5方阵P为可逆阵的充分必要条件是P可以表示为有限个初等矩阵的乘积必要性，由定理1.4可知，可逆方阵P可以经过有限次行的初等变换化成单位矩阵I,则由定理1.2知：存在初等矩阵证明：充分性，如果方阵P可以表示为有限个初等矩阵的乘积，则由定理1.2的结论

7、，P为可逆。BACK定理1.4可逆矩阵可以经过有限次初等行变换化为单位阵。证明设A为n阶可逆矩阵。因为A是可逆矩阵，所以A第一列不能全为零。这样就可以通过初等行变换将第一行第一列的元素变为不等于零。再对第一行第一列乘以适当的系数，可以把第一行第一列的元素变为1。再用适当的倍数加到其他行。使得第一列的其他元素都是零，得到如下形式的矩阵：由可逆性知b22,…,bn2中至少有一个不为零。（如果不是这样，则将B的第一列乘以（-b12）加到第二列中，则第二列全为零，这与逆矩阵的性质相矛盾。）。这样就可