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时间:2019-05-28
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1、习题2—41.求解下列微分方程:(1);解方程组有解.令,代入原方程得,这是齐次方程,令,则上述方程化为.分离变量后积分得.代回原变量,最后得原方程的通积分为.(2);解由,因此,令,则原方程化为,分离变量后积分得,代回原变量,得原方程的通积分为.(3);解这是的伯努里方程,令,代入原方程,化简得,这是线性方程,它的通解为,即.显然有特解.2.利用适当的变换,求解下列方程:(1);解将方程改写为.此方程为齐次方程.令,则方程化为.变量分离积分得.代回原变量,得原方程的通积分为.(2);解将方程改写为
2、.令,则方程化为,即.方程组有解.令,代入原方程得,这是齐次方程,令,则上述方程化为,分离变量后积分得.代回原变量,最后得原方程的通积分为.(3);解将方程改写为.令,则方程化为.方程组有解.令,代入原方程得,这是齐次方程,令,则上述方程化为,分离变量后积分得.代回原变量,最后得原方程的通积分为.3.求解下列微分方程:(1);解这是黎卡提方程,它有特解,作变换,于是有.这是伯努里方程,令,则方程化为,解此线性方程得,故原方程的通解为.(2);解这是黎卡提方程,容易观察是方程的一个特解,作变换,于是有
3、.这是伯努里方程,它有解,当时,令,则方程化为,解此线性方程得,故原方程的通解为.此外还有特解.4.试把二阶微分方程(1)化成黎卡提方程.解令,则,.代入(1),整理后得黎卡提方程.5.探照灯的反光镜(旋转面)应具有何种形状,才能使点光源发射的光束反射成平行线束?解设所求曲面是由曲线旋转而成.取旋转轴为轴,轴的方向平行于光的反射方向,使点光源位于坐标原点(如图).过曲线上任一点,作切线,它与轴的交角记为,由光的性质:入射角等于反射角,即,记与轴的交角为,则.由于,,又,从而可得方程,解出,有.作变换
4、,方程化为.变量分离后积分,有.令,有,积分,得,代回原变量得,其中为任意常数,它是一族抛物线.因此,探照灯的反光镜面应是旋转抛物面的形状,它的曲面方程在空间中应表示为.
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