矩阵初等变换应用

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1、矩阵初等变换的应用摘要矩阵的初等变换是线性代数中很重要的一部分，本文从矩阵初等变换的概念开始，应用具体实例，介绍了矩阵的初等变换在高等代数中的一些应用.运用矩阵的初等变换可以求出逆矩阵、矩阵的秩、求解矩阵方程和线性方程组、以及矩阵的特征值和特征向量等等.关键词初等变换、逆矩阵、矩阵方程、线性方程组0引言矩阵理论是线性代数的重要内容之一，它是研究线性方程组、二次型及线性变换等问题的一个常用工具.而矩阵的初等变换则是贯穿于线性代数的一种十分重要的方法，它包括线性方程组的初等变换、行列式的初等变换和矩阵的初等变换，许多线性代数问题都可用它来解决，在解决代数问题

2、时，运用矩阵的初等变换可以使问题简单化.本文从初等变换的概念开始，利用实例逐步介绍了初等变换在解题过程中的应用，通过这些实例更体现了矩阵的初等变换在数学中的重要地位.1矩阵、矩阵的初等变换及初等矩阵的基本概念定义1由个数排成行列的数表称为行列的矩阵，或称为矩阵.定义2对某一矩阵施行的初等变换是指对该矩阵的行或列进行的如下三种变换的统称：（1）倍法变换：将矩阵第行（列）的各元素分别乘以，其余行（列）不动，得到矩阵，称对施行了一次倍法变换.（2）消法变换：将矩阵的第行（列）乘以加于第行（列），其余行（列）不动，得到矩阵，称对施行了一次消法变换.14（3）换法

3、变换：将矩阵第行（列）与第行（列）对调位置，其余行（列）不动，得到矩阵，称对施行了一次消法变换.定义3对矩阵的行（列）进行的倍法交换、消法变换和换法变换统称为初等行（列）变换.矩阵初等变换的表现形式：（1）倍法变换：非零常数乘矩阵的第行（列）：或；（2）消法变换：矩阵的第行（列）加上第行（列）的倍：或；（3）换法变换：交换矩阵的第行（列）与第行（列）：或；定义4对单位矩阵施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应以下三种初等矩阵：（1）初等倍法矩阵：以数乘单位矩阵的第行（列），得初等矩阵，称之为初等倍法矩阵；（2）初等消法矩阵：以数乘单位矩

4、阵的第行（列）加到第行（或用数乘单位矩阵的第列加到第列），得初等矩阵，称之为初等消法矩阵；（3）初等换法矩阵：把单位矩阵的两行（列）对调，得到初等矩阵，称之为初等换法矩阵.通常将以上三种矩阵依次简称为倍法矩阵、消法矩阵、换法矩阵.2用初等变换求矩阵和向量组的秩定理1初等变换不改变矩阵的行秩与列秩.定理1表明：初等变换虽然改变了矩阵，但不改变矩阵的秩，所以称矩阵的秩是矩阵初等变换下的不变量，且任意一个矩阵均可以经过一系列行初等变换化为梯形矩阵;因此,确定一个矩阵的秩,首先要利用初等变换把其变为梯形矩阵,然后再由梯形矩阵的秩来确定原来矩阵的秩.14例1求矩阵

5、的秩.解：阶梯矩阵中非零行的行数为，所以该矩阵的秩为，即.除了求矩阵的秩，在学习过程中可能还要求求向量组的秩，我们可以把每一个向量作为矩阵的一行，把向量组就转变成为一个矩阵，即向量组的秩就转化成了矩阵的秩，问题就变简单了.例2求下列向量组的秩，，，解：以为列,构造矩阵,再对进行行初等变换,化为梯形矩阵:14因此，阶梯矩阵中非零行的行数为，所以矩阵的秩为，从而向量组的秩也是.3用初等变换求逆矩阵命题1如果是阶可逆矩阵,则经过若干次初等变换后可化为,我们将与并排放到一起,形成一个的分块矩阵,然后对此矩阵施以仅限于行的初等变换，使子块化为,同时子块即化成了,即

6、将其左半部分化为单位矩阵,右半部分就是.例3求矩阵的逆矩阵.解：作矩阵14于是得到上面所说用初等变换求逆矩阵的方法，仅限于对矩阵的行作初等变换，不能进行列变换.同样的道理，也可对矩阵作仅限于列的初等列变换来求逆矩阵.我们将与并列放到一起,形成一个的矩阵,因为,所以对矩阵作一系列列初等变换,将其上半部分化为单位矩阵,这时下半部分就是.4用初等变换求解矩阵方程我们都知道矩阵方程经过恒等变换后有三种可能形式：,,,如果矩阵可逆，有,计算得到.例4求解矩阵方程,其中,解：14因此5用初等变换求线性方程组的基础解系考虑一般的线性方程组的求解问题.记，，则方程组的矩

7、阵形式为其中称为方程组的系数矩阵，为常数项矩阵，称为元未知量矩阵.我们把方程组的系数矩阵与常数项矩阵放在一起构成的矩阵称为线性方程组的增广矩阵.5.1求齐次线性方程组的解（当时，称为齐次线性方程组）例5解线性方程组解：对增广矩阵作行初等变换14即原方程组与下面的方程组同解，其中，为自由未知量.因此求得两个解方程组的基础解系，5.2非齐次线性方程组的解（，其中）例6求解解：对增广矩阵作行初等变换14原方程组同解于即令为自由变元，得它的通解为6用初等变换求阶数字矩阵的特征值与特征向量方法：(1)解的特征方程,求出的个特征值，，…，.(2)对每一特征值，求解齐

8、次线性方程组，得此方程组的基础解系，，…，，则对应于的全部特征值向量为，（为不全