线性代数-矩阵-高斯消元法与矩阵的初等变换课件.ppt

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1、§1.2高斯消元法与矩阵的初等变换一、引入二、高斯消元法与初等变换三、初等矩阵1一、引入2齐次方程组：AX=0;非齐次方程组：AX=b,b0(b中至少有一分量不为零)为AX=b的解：AX=b成立.问题方程组何时有解？若有解，有多少解？如何求出其全部解？定义3引例求解线性方程组分析用消元法解下列方程组的过程．二、高斯消元法与初等变换4解5用“回代”的方法求出解：6于是解得7小结：1．上述解方程组的方法称为消元法.2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方

2、程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（　与　相互替换）（以　　　替换　）称以上三种变换为线性方程组的初等变换.（以　　　　替换　）8方程组与其增广矩阵一一对应.若用矩阵来讨论线性方程组，则上述变形实际上是对方程组对应的矩阵进行行变形，这种变形就是矩阵的初等变换.9定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换:同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．10矩阵的初等变换通常称(1)对换变换;(2)倍乘变换;(3)倍加变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换初等列变换初等

3、行变换11用矩阵的初等行变换解方程组（1）：12方程组的解为：13高斯消元法就是对增广矩阵实施行初等变换化为简化行阶梯形矩阵,达到消元与求解方程的目的.14行阶梯形矩阵例如特点(1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零；(2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．15不是行阶梯形矩阵.不是行阶梯形矩阵.下列矩阵是否是行阶梯矩阵?是行阶梯形矩阵.练习16例如简化行阶梯形矩阵（1）是行阶梯矩阵；（2）每一非零行的第一个非零元素为数1；且1所在的列的其余

4、元素均为0.17注对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为简化行阶梯形矩阵.18例利用矩阵的初等行变换,将A化成简化行阶梯形矩阵.解19(行阶梯形矩阵)20(简化行阶梯形矩阵)21例求解齐次线性方程组解22由此即得23例解方程组解方程无解.24例解线性方程组解行25对应的方程组为即简化行阶梯形矩阵为方程组的全部解.26线性方程组一般情形对其增广矩阵作初等行变换，总可以化为如下形式的简化行阶梯矩阵（必要时交换未知量的下标）2728这个方程组与原方程组同解,29自由未知量.解为30当方程为齐次方程组时，齐

5、次方程组至少有一组零解特别地，方程个数少于未知量个数的齐次方程组一定有非零解.31等价关系的性质具有上述三条性质的关系称为等价．例如,两个线性方程组同解也可作为一种等价关系.就称这两个线性方程组等价矩阵的等价32定义由单位矩阵I经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.三、初等矩阵33第列第列(1)矩阵I中对调两行或两列，得初等对换矩阵.34第列(2)以数乘I中某行或某列，得初等倍乘矩阵.35第列第列得初等倍加矩阵.36例计算③×k37

6、定理设A是mn矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘一个相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘一个n阶相应的初等矩阵.38一般结论39对矩阵作一次初等行(列)变换在矩阵左边(右边)乘以一个初等矩阵同样的行为初等变换与初等矩阵的关系矩阵的初等变换可看成矩阵的一种运算.40“左乘行，右乘列”定理的应用：1.若矩阵B是矩阵A经有限次行初等变换得到的，则存在有限个初等矩阵E1,…,Ek,使得2.若矩阵B是矩阵A经有限次列初等变换得到的，则存在有限个初等矩阵E1,…,Ek,使得3.若

7、矩阵B是矩阵A经有限次初等变换得到的，则存在有限个初等矩阵P1,…,Pk,Q1,…,Qt使得41解例42例设矩阵43例设有线性方程组解4445其解为46这时又分两种情形：47小结1.初等行(列)变换3.矩阵等价具有的性质2.初等变换485.线性方程组的增广矩阵；6.利用矩阵的初等行变换解线性方程组.目标为化方程组的增广矩阵为简化行阶梯形矩阵，从而判断方程组是否有解，有解时有唯一解还是无穷多解.4.单位矩阵I初等矩阵.一次初等变换49