线性代数课件3-2矩阵的初等变换与初等矩阵.ppt

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1、§2矩阵的初等变换与初等矩阵目的要求（3）掌握利用初等行变换判别方阵是否可逆和求逆阵的方法；（1）了解矩阵的初等列变换、标准形等概念；（2）掌握初等矩阵的特点和在矩阵乘法中的作用；（4）掌握利用初等行变换求解特殊矩阵方程的方法.一、初等变换与标准形矩阵的初等行变换:矩阵的初等列变换:初等变换求解线性方程组为了解不变，必须着眼于方程整体变化，所以原则上只用矩阵的初等行变换，而不用矩阵的初等列变换.标准形标准形矩阵特点：任意矩阵经过初等变换总可以化为标准形.左上角是一个单位矩阵，其余元素均为0.标准形的形式有四种：等价关系：满足以下三个

2、性质的关系称为等价：”表示.等价用“1.反身性，A→A；2.对称性，若A→B，则B→A；3.传递性，若A→B，B→C，则A→C等价矩阵：矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，是一种等价关系，称矩阵A、B等价，记作矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，是一种等价关系，称矩阵A与B按行等价，记作矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，是一种等价关系，称矩阵A与B按列等价，记作二、引例三、初等矩阵定义：称由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵为初等矩阵.1、对调两行或两列行第i¬行第j¬ijijE(i,j)2、以非零数k乘某行或某列行第i¬E(i(k)

3、),由对角矩阵的特性知：3、以数k乘某行（列）加到另一行行第i¬行第j¬iijijE(ij(k))例1解矩阵方程解：例2解矩阵方程解：四、初等变换的性质定理1设是一个矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.方阵可逆的充要条件定理2：n阶方阵可逆设A可逆，且标准形为左端行列式为0，右端行列式不为0，矛盾.初等矩阵可逆，有限个可逆阵乘积也可逆.可以写成有限个初等矩阵的乘积定理3：设A与B为矩阵，则（1）（2）（3）存在可逆阵存在可逆阵存在可逆阵

4、五、初等变换应用一---求逆阵例3解：六、初等变换应用二---求解Ax=B当A为可逆方阵，矩阵方程AX=B的解为例4解：列变换行变换七、初等变换应用三方法：变换成即得所求利用初等行变换将例5设的行最简形矩阵为，求，并求一个可逆矩阵，使解：八、思考题解：解：经四次初等行变换化成单位矩阵而这4次初等行变换所对应的初等阵为:由初等方阵的性质得于是注：答案不唯一§2矩阵的初等变换与初等矩阵目的要求（3）掌握利用初等行变换判别方阵是否可逆和求逆阵的方法；（1）了解矩阵的初等列变换、标准形等概念；（2）掌握初等矩阵的特点和在矩阵乘法中的作用；（

5、4）掌握利用初等行变换求解特殊矩阵方程的方法.