线性代数 第四讲 矩阵的初等变换与初等矩阵课件.ppt

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1、第四讲矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换阶梯形矩阵初等矩阵矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。引例：用消元法解下面的线性方程组一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换在上述过程中，对线性方程组的消元操作实际上就是对整个线性方程组进行了三种操作:(1)对某一方程两边同时乘以不为零的常数；(2)交换方程组中两个方程的位置；(3)给某一方程乘以常数k加到另一个方程上去。相当于是对该方程组所对应的增广矩阵进行了：(1)给某一行所有元素都乘以一个非零常数；(2)交换两行元素的位置；(3

2、)给某一行所有元素乘常数k加到另一行的对应元素上去。一、矩阵的初等变换定义1、下面三种变换称为矩阵的初等行变换：1)交换两行(记为ri↔rj);2)以数k0乘某一行所有元素（记作rj×k）;3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的对应元素上去（记作ri+krj）把定义中和“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”）。矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩阵的初等变换。一、矩阵的初等变换显然，三种初等变换都是可逆的，且其变换是同一类型的初等变换。变换ri↔rj的逆变换就是本身；变换rj×k的逆变换为rj÷k；变换ri+krj的逆变换为ri

3、krj。如果A经过有限次初等变换变为矩阵B，称矩阵A与B是等价的，记为A↔B。矩阵的等价关系有如下性质：反身性：A↔A对称性：A↔B，则B↔A传递性：A↔B，B↔C，则A↔C一、矩阵的初等变换矩阵的初等变换的应用1行列式的计算2求矩阵的逆3求矩阵的秩4求线性方程组的解5求向量组的线性关系6一向量组能否由另一向量组线性表出7求向量组的秩与极大无关组8判断两向量组是否等价一、矩阵的初等变换(ii)下一个非零行的非零首元素均位于上一非零行的非零首元素的右侧(i)非零行位于全零行之上；定义2、二、阶梯形矩阵若矩阵A满足：则称矩阵A为行阶梯形矩阵，简称阶梯形矩阵。下列矩阵中哪

4、几个是阶梯形矩阵?哪几个不是?二、阶梯形矩阵√√√√××定理1任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵.二、阶梯形矩阵练习：练习.解线性方程组定义3一个行阶梯形矩阵若满足(i)每个非零行的第一个非零元素为1;(ii)每个非零行的第一个非零元素所在列的其他元素全为零.二、阶梯形矩阵则称之为简化阶梯形矩阵（行最简形矩阵）.×√√定理2任何矩阵都可经过有限次初等行变换化为行最简形矩阵.二、阶梯形矩阵练习：定义4由单位阵E经过一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵。对应于三种初等变换，有三种初等矩阵：三、初等矩阵对n阶单位阵E，有i列j列j行i行i列i行j行i行初等

5、矩阵的性质：(1)初等矩阵的转置矩阵仍然是初等矩阵;(2)初等矩阵均是可逆矩阵，其逆矩阵是同类型的初等矩阵。定理3设A=(aij)是mn矩阵，则(1)对A进行一次初等行变换，相当于用一个m阶的初等矩阵左乘矩阵A；(2)对A进行一次初等列变换，相当于用一个n阶的初等矩阵右乘矩阵A。初等矩阵与初等变换之间的关系左乘变行右乘变列