线性代数 2-5 矩阵的初等变换和初等矩阵课件.ppt

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1、2.5矩阵的初等变换和初等矩阵一、矩阵的初等变换对矩阵施以下列3种变换（3）交换矩阵的两行（列）；（1）用一个非零的数c乘矩阵的某一行（列）；（2）把矩阵的某一行（列）的c倍加到另一行（列）。称为矩阵的初等行(列)变换。倍乘变换倍加变换对换变换统称为矩阵的初等变换.二、初等矩阵(1)初等倍乘矩阵定义2.15将单位矩阵做一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵将单位矩阵的第i行（列）乘以非零数c而得到；－－－有三种形式.（2）初等倍加矩阵将单位矩阵的第i行乘以c加到第j行得到；注意下标.（3）初等对换矩阵将单位矩阵的第i，j行（列）对换而得到；.三、初等矩阵与初等变换的关系例１计算下列

2、初等矩阵与矩阵的乘积：.据例1可知,初等矩阵左乘A,C----相当于是对A,C做相应的初等行变换初等矩阵右乘B----相当于是对B做对应的初等列变换一般地有如下结论：对换位置;对换位置;左乘--行变换;右乘—列变换..四、初等矩阵的基本性质（1）初等矩阵是可逆矩阵，而且它们的逆矩阵也是初等矩阵。（2）初等矩阵的转置仍是初等矩阵。所以,初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵..例2设初等矩阵试求解..五、用初等变换求逆矩阵定义如果B可以由A经过一系列初等变换得到，则称矩阵A与B等价。定理的矩阵等价。.例2化A为D的形式：解0-1-1-10-1-1-1.定理A为n阶可逆矩阵它能表示成一些初

3、等矩阵的乘积。n阶可逆矩阵A与I等价。证明因为A可逆，则经过若干次初等变换可化为I,即使所以因为初等矩阵可逆，所以充分性显然。.设可逆，使所以求逆矩阵的方法：.求逆矩阵的方法：.复习例4用初等行变换法求A的逆矩阵解0-3-80-21**.所以.注意1用初等行变换法求逆,只能对(AI)进行行变换2变换过程中,若出现一行全是零,则此矩阵不可逆.小结A可表示为一些初等矩阵的乘积。求逆矩阵的方法：(2)、求伴随矩阵.（阶数较低）(公式法)(1)、由AB=I或BA=I.(待定系数法)(定义法)(3)、初等变换的方法(初等变换法)(4)、分块矩阵的方法.求逆矩阵的方法：.复习注意1用初等行

4、变换法求逆,只能对(AI)进行行变换2变换过程中,若出现一行全是零,则此矩阵不可逆.证明因为A可逆，所以由得所以.例解例.易求得

5、A

6、=1/2,故.例把可逆矩阵解对进行如下初等变换:分解为初等矩阵的乘积.与每次初等交换对应的矩阵分别为:.为列变换的初等矩其中为行变换的初等矩阵,其逆矩阵分别为:阵,于是.例求下列阶方阵的逆阵:中空白处表示为零.解所以.四.用初等变换法求解矩阵方程问题:求矩阵使其中为可逆矩阵.方法:易见该问题等价于求矩阵再利用初等行变换求逆阵的方法,计算矩阵即初等行变换同理,求解矩阵方程等价于计算矩阵则可利用初等列变换,计算矩阵即初等列变换注意:也可改为对作初等行

7、变换..例求解矩阵方程其中解先将原方程作恒等变形为:则即得.1、设将A表示成初等矩阵的乘积。解即所以.例当a,b满足什么条件时，矩阵Ａ不可逆．其中解对Ａ做初等行，列变换将其化为阶梯形矩阵．可得a,b应满足的条件．原则：化的过程中，尽可能将a,b置于Ａ的右下方．.矩阵A不可逆的充要条件是.