《摆线》同步练习1

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1、《摆线》同步练习1(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知圆的渐开线的参数方程是(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是(　　)A．π　　　　B．2π　　　　C．3π　　　　D．4π【解析】　圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B.【答案】　B2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果

2、建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是惟一的交点．其中正确的说法有(　　)A．①③B．②④C．②③D．①③④【解析】　①错，②正确，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，故③正确，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．故④错误，故选C.【答案】　C3．已知一个圆的参数方程为(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B(，2)之间的距离为(　　)A.－1B.C.D.【解析】　根据圆的参数方

3、程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得即A(－3,3)，∴

4、AB

5、＝＝.【答案】　C图2－4－14．如图2－4－1，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中、、、…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是(　　)A．3πB．4πC．5πD．6π【解析】　根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.【答案】　C二、填空题(每

6、小题5分，共10分)5．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数φ＝，则点P的坐标为________．【解析】　由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)．当φ＝时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为P(π，2)．【答案】　(π，2)6．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．【解析】　根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为(x)2＋y2＝36，整理可得＋＝1

7、，这是一个焦点在x轴上的椭圆．c＝＝＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．【答案】　(6，0)和(－6，0)三、解答题(每小题10分，共30分)7．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．【解】　以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以给定定直线所在的直线为x轴，建立直角坐标系，∴摆线的参数方程为(φ为参数)．8．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22mm，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．【解】　因为基圆

8、的直径为22mm，所以基圆的半径为11mm，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为(φ为参数)．9．如图2－4－2，若点Q在半径AP上(或在半径AP的延长线上)，当车轮滚动时，点Q的轨迹称为变幅平摆线，取

9、AQ

10、＝或

11、AQ

12、＝，请推出Q的轨迹的参数方程．图2－4－2【解】　设Q(x，y)、P(x0，y0)，若A(rθ，r)，则当

13、AQ

14、＝时，有代入∴点Q的轨迹的参数方程为(θ为参数)．当AQ＝时，有代入∴点Q的轨迹方程为(θ为参数)．教师备选10．已知一个参数方程是如果把t当成参数，它表示的图形是直线l(设斜率存在)，如果把α当成参数(t>0)，它表示半径为t的圆．(

15、1)请写出直线和圆的普通方程；(2)如果把圆平移到圆心在(0，t)，求出圆对应的摆线的参数方程．【解】　(1)如果把t看成参数，可得直线的普通方程为：y－2＝tanα(x－2)，即y＝xtanα－2tanα＋2，如果把α看成参数且t>0时，它表示半径为t的圆，其普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝t2.(2)由于圆的圆心在(0，t)，圆的半径为t，所以对应的摆线的参数方程为(φ为参数).