《2.4.1 摆线的参数方程》同步练习1

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1、《2.4.1摆线的参数方程》同步练习1基础达标1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是(　　)A．只有圆才有渐开线B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C．正方形也可以有渐开线D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同答案：C解析：不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是

2、一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．2．已知一个圆的参数方程为(t为参数)，那么圆的摆线方程中与参数t＝对应的点A与点B之间的距离为(　　)A.－1B.C.D.答案：C解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(t为参数)，把t＝代入参数方程中可得即A，∴

3、AB

4、＝＝.3．直线(t为参数)的倾斜角是(　　)A．20°B．70°C．110°D．160°答案：C解析：由于k＝＝＝－cot20°＝－tan70°＝tan110°，∴直线的倾斜角为110°.4．曲线(t为参

5、数)的焦点坐标为________．答案：(0,1)解析：将参数方程化为普通方程(y－1)2＝4(x＋1)，∴焦点坐标为(0,1)．5．若x2＋y2＝4，则x－y的最大值是________．答案：2解析：x2＋y2＝4的参数方程为(θ为参数)，∴x－y＝2cosθ－2sinθ＝2cos，∴最大值为2.6．求摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2交点的直角坐标．解：当y＝2时，有2(1－cost)＝2，∴cost＝0.又0≤t≤2π，∴t＝或t＝.当t＝时，x＝π－2，y＝2；当t＝时，x＝3π＋2，y＝2.∴摆线

6、与直线y＝2的交点为(π－2,2)，(3π＋2,2)．综合提高7．设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是(　　)A．－2B．－C．－3D．－答案：C解析：不妨设(α为参数)，则a＋b＝cosα＋sinα＝3sin(α＋φ0)，其中tanφ0＝，∴(a＋b)min＝－3.8.如图所示，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是(　　)A．3πB．4πC．5πD．6π答案：C解

7、析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.9．渐开线(t为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为__________．答案：(6，0)和(－6，0)解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径a＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为2＋y2＝36，整理可得＋＝

8、1，这是一个焦点在x轴上的椭圆．c＝＝＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．10．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(t为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．答案：(t为参数)解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换．所以要写出摆线方程关于直线y＝x的对称曲线方程，只需把其中的x与y互换．11．已知圆C的参数方程是(α为参数)和直线l对应的普通方程是x－y－6＝0.(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线

9、有什么关系？(2)写出平移后圆的摆线方程；(3)求摆线和x轴的交点．解：(1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线x－y－6＝0的距离为d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是(t为参数)．(3)令y＝0，得6－6cost＝0⇒cost＝1，所以t＝2kπ(k∈Z)．代入x＝6t－6sint，得x＝12kπ(k∈Z)，即圆的摆线和x轴的交点为(12kπ，0)(k∈Z)．12．(创新拓展)设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上

10、动点为M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴．解：轨迹曲线的参数方程为(0≤t≤2π)．即t＝π时，即x＝8π时，y有最大值16.第一拱(0≤t≤2π)的对称轴为x＝8π.