【同步练习】摆线（人教A版）

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1、《摆线》同步练习赵县实验中学赵连霞◆选择题1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是(　　)A．πB．2πC．12πD．14π2．已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取对应的点A与点B之间的距离为(　　)A.－1B.C.D.◆填空题3．摆线(t是参数，0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是________．4．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为______________.5．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(φ

2、为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．◆简答题◆6．有一个半径是2a的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M，与轮子中心的距离是a，求点M的轨迹方程．7.已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．8．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．答案和解析1.解析：选C　根据条件可知，圆的摆线方程为(φ为参数)，把y＝0代入，得φ＝2kπ(k∈Z)，此时x＝6kπ(k∈Z)2.解析

3、：选C　根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得即A，∴

4、AB

5、＝＝.3.答案：(π－2,2)或(3π＋2,2)4.解析：圆的摆线的参数方程为(φ为参数)，令r(1－cosφ)＝0，得φ＝2kπ(k∈Z)，代入x＝r(φ－sinφ)，得x＝r(2kπ－sin2kπ)(k∈Z)，又∵过(1,0)，∴r(2kπ－sin2kπ)＝1(k∈Z)，∴r＝(k∈Z)．又∵r＞0，∴k∈N*.答案：(φ为参数，k∈N*)5.解析：关于直线y＝x对称的函数互

6、为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换．答案：(φ为参数)6.解：设轮子中心为O，则OM＝a.点M的轨迹即是以O为圆心，a为半径的基圆的摆线．由参数方程知点M的轨迹方程为(φ为参数)．7.解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是(φ为参数)．8.解：令y＝0，可得a(1－cosφ)＝0，由于a＞0，即得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝a(φ－sinφ)，得x＝

7、a(2kπ－sin2kπ)(k∈Z)．又因为x＝2，所以a(2kπ－sin2kπ)＝2(k∈Z)，即得a＝(k∈Z)．又由实际可知a＞0，所以a＝(k∈N*)．易知，当k＝1时，a取最大值为.代入即可得圆的摆线的参数方程为(φ为参数)．圆的渐开线的参数方程为(φ为参数)．