塑性力学-应力分析讲义_

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1、2.1一点的3维应力状态2.1.1应力张量为了研究一点P处的应力状态，我们在P点处沿坐标轴方向取一个微小的平行六面体，图2-2所示，假定应力在各面上均匀分布，于是各面上的应力便可用作用在各面中心点的一个应力矢量来表示。在笛卡儿坐标系中，坐标轴的单位矢量e。三个正面上的应力矢量为：p，p，p。把应力矢量p（i1,2,3）沿坐标i123i轴正向分解，得：peee1111122133peee(2-1A)2211222233peee3311322333上式可合记为：pe

2、ee（i1,2,3）(2-1B)ii11i22i33进一步运用爱因斯坦求和约定，可记为：p=e（i,j1,2,3）(2-1C)iijj33x331322313122122110x2x1图2-1应力张量这个矢量集合(p,p,p)定义了一个新的量σ=(p,p,p)，共9个应力分量，123123它描述了M点处的应力状态，称为应力张量。应力张量的矩阵形式表示为：111213σ(2-2)212223313233为应力张量在基矢量为e的坐标系中的分量

3、，简称为应力分量，其中，第1iji个脚标表示该应力分量所在平面的法线方向，第2个脚标表示该应力分量的方向。由于；；，因此应力张量为“二阶对称张量”。应力122113313223张量的并矢表示为：σee（i,j1,2,3）(2-3)ijij2.1.2斜截面应力设在给定点P，应力分量是已知的。如何求过P点的任意一个斜截面上ij的应力矢量p及p的分量p（i1,2,3）（p为p在1，2，3轴上的投影）。取图nnninin2-2所示的四面体，它由三个负面和一个法向单位矢量为n的斜截面组成，

4、n的对轴1，2，3的投影（即n的方向余弦）分别为：n1，n2，n3。，即n=（n1，n2，n3）。由平衡方程Fi0（i1,2,3）消去面积的量纲得到：pnnnn1111221331pnnn(2-4)n2112222332pnnnn3113223333记为：pn（i,j1,2,3）(2-5A)nijij或pnσ(2-5B)n此即为柯西公式。nCpn12211122pn213BPx2331pn3332pn1A330x2x1图2-2斜截面应力2

5、.1.3主应力、应力不变量：设过P点的某斜截面上的剪应力等于零，则该斜面上的应力称为P点的一个主应力，该斜面称为P点的一个应力主面（主平面），该斜面的法线方向称为P点的一个应力主方向。如果已知P点的应力张量σ的各个分量（i,j1,2,3），由于主平面上的剪ij应力等于零，可以利用主平面上的应力矢量的大小等于主平面上的正应力这一特性来确定主应力的方向和大小。设λ是P点的一个主应力，主平面的法向单位矢量为n，主平面的方向余弦为n1，n2，n3。于是由柯西公式可得：pnnnnn11112213

6、311pnnnn(2-6)n21122223322pnnnnn31132233333合并后有：n()nn0111221331nn()n0(2-7)112222332nnn()0113223333222这是n1，n2，n3的三个齐次线性方程。由于nnn1，上述方程只有123当三个方程的系数行列式为零时才可能得到非零解。()112131()0(2-8)122232()132333展开行列式，并使

7、它等于零，得的三次方程。32III0(2-9)123其中：I()1112233222I()(2-10A)2112222333311233112222I(2)3112233112322133312122331这方程的三个根，，就是三个主应力。将三个主应力依次代入方程，123222并利用关系式nnn1，就可以得到三个主平面的三组方向余弦。123由于主应力值和坐标系的选择无关，坐标变化时，应力分量改变了，ij

8、但主应力值不变，I，I2，I3也不变。因此，称I1，I2，I3为应力张量的不变量。若以主应力表示应力张量的不变量，式(2-10A)可写为：I()1123I()(2-10B)2122331I31232.1.4应力张量的分解三个正应力的平均值称为平均应力，并用或p表示：m1p()(2-11)m1122333可将应力张量分解：m0011m1213