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1、第25卷,第3期科学技术与辩证法Vo.l25No.32008年6月Science,TechnologyandDialecticsJun.,2008#科技史#从张量概念到张量分析黄勇,魏屹东(山西大学科学技术哲学研究中心,山西太原030006)摘要:张量分析是现代数学物理学的基础工具。从广义相对论开始,到规范场论,以至后来的弦理论的建立都得力于张量分析。张量分析所提供的对曲线坐标系的微分方法,真正实现了非欧几何从概念到演算的革命,而所有这一切都是以张量概念的产生为基础的,黎曼的新几何学观念是张量概念产
2、生的原动力之一。另一方面,黎曼几何学与张量分析的交织发展体现在许多方面,文章描绘这两者从起源到成熟的过程中互相促进的历史。关键词:张量;线性变换;协变微分;绝对微分中图分类号:N09文献标识码:A文章编号:1003-5680(2008)03-0080-04亚瑟#凯莱(ArthurCayley)着力研究的不变量义,并定义了两个矩阵的和。凯莱给出了矩阵乘法理论(invarianttheory)导致了矩阵理论的建立,引进的定义,并强调指出,矩阵乘法是可结合的,但一般了现代意义上的行列式的代数表达,这成为射
3、影几不满足交换律。何的重要工具。凯莱的不变量理论产生于19世纪凯莱开创的矩阵代数在19世纪沿着两个方向前半叶的英国着重对代数及代数在几何方面的应用发展,一个是抽象代数结构,另一个则被用于几何学研究这样的背景下。矩阵理论对线性变换的研究引上。凯莱以代数观点研究几何,他的方法建立在不进了向量的代数定义,而这是张量概念的先导。变量问题基础上,对代数形式(齐次多项式)做出了另一方面,格奥尔格#弗雷德里希#波恩哈德几何解释,证明了度量概念能够用射影语言来表达。#黎曼(GeorgFriedrichBernhar
4、dRiemann)提出的n他对欧氏几何与射影几何关系的研究,使他得出了维流形的概念,这在客观上提出了深入研究代数形关于图形度量性质的新意义。凯莱从平面上的点可式的课题。黎曼的几何思想在拓展几何学的同时,以用齐次坐标表示的事实出发,定义了距离与角度。提高了代数在表达几何对象方面的抽象程度。黎曼凯莱证明,矩阵代数表达的关于距离与角度的公式,之后,在克里斯托弗、里奇和列维-契维塔等人的努可化成欧氏几何中的相应公式。力下,形成了张量分析这样的数学方法,黎曼几何学矩阵代数的另一个方向是关于抽象代数结构的也因此
5、而建立起来了。不变量的研究。凯莱在数学上最早、最重要的工作一凯莱的向量代数定义的张量内涵之一,是创立不变量理论。凯莱在1843年发表5关凯莱的开创性工作是矩阵论。1841年,凯莱在于物体的旋转运动6一文,开始计算n次型的不变论文/关于位置几何的定理0中引进了矩阵的基本量,探求在线性变换下n次型的不变量)))线性变概念和运算,在此之后,凯莱系统研究了矩阵理论。换后保持形式不变。凯莱的不变量理论建立在他独1858年发表/矩阵论的研究报告0一文,引进了矩阵自发展的矩阵理论基础之上,凯莱的矩阵代数方法,的基
6、本概念和运算,给出了零矩阵、单位矩阵的定扫清了数学进化的道路。凯莱对不变量理论的研究=收稿日期>2007-12-13=作者简介>黄勇(1969-),男,四川乐山人,科学史博士生,研究方向为数学史;魏屹东(1958-),男,山西永济人,山西大学科学技术哲学研究中心教授,博士生导师,研究方向为科技史。80与前人工作的分野在于他是通过不变量理论来研讲,这篇就职演说是黎曼几何学的源头。黎曼提出究、解决几何问题,他对射影几何的突出贡献就是在了n维微分流形的原始形式,从几何角度引进了抽[2]这样的思想指导下完成
7、的。象空间,与凯莱、西尔维斯特、格拉兹曼等人从代这些方面的工作逐渐导向了对线性变换新的研数角度建立抽象空间互相补充,揭开了现代数学的究。凯莱引入的n@n矩阵的特征方程的概念,成为帷幕。黎曼创立的黎曼几何学,开辟了现代几何学,凯莱研究线性变换理论的先导。运用矩阵代数方乃至现代数学的新路径。法,凯莱对线性变换进行了研究,从而引向了向量的黎曼主要研究几何空间的局部性质,他采用微代数定义。1845年,凯莱发表/线性变换理论0一分几何的途径,建立了一般的抽象几何空间。黎曼文,探讨求不变量的方式,给出了如何求n
8、次齐次函引入流形的概念,流形中的一个点可以用n个可变数的不变量的计算方式。1846年,凯莱发表/论线参数的一组数值来表示,所有这些点的全体构成流性变换0一文,引入了/协变量0(covariance)的概形,这个可变参数称为流形的坐标,黎曼定义了流形念,找到了求不变量的一般方法。凯莱表述了在一上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹般意义下的代数不变量问题,深入研究了求不变量角,并以这些概念为基础,研究了流形的几何性质,的一般方法,构造了处理不变量的符号系统,并且得
