矩阵的概念和运算

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1、7.2矩阵的概念和运算主要内容：一.矩阵的概念.二.矩阵的加法和减法.三.数与矩阵相乘.四.矩阵与矩阵相乘.五.利用矩阵表示线性方程组.1由m×n个数排成的m行n列数表称为一个m行n列矩阵，简称为m×n矩阵．其中aij表示第i行第j列处的元素，i称为aij的行指标，j称为aij的列指标．一、矩阵的概念定义12矩阵通常用A，B，C…大写字母表示，若需指明矩阵的行数和列数常写为或．例如：为一个2×3矩阵．在以后的讨论中，还会经常用到一些特殊的矩阵，下面分别给出他们的名称,元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作O或0，如：3当m=n时

2、，称A为n阶矩阵（或n阶方阵）．只有1行（1×n）或1列（m×1）的矩阵，分别称为行矩阵和列矩阵，如：4若方阵的元素aij=0（i≠j），则称A为对角矩阵，aii（i=1,2,…,n）称为A的对角元，如为二阶对角矩阵．对角元全为数1的对角矩阵称为单位矩阵，n阶单位矩阵记为In．5形如的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵．6把矩阵的行与列依次互换，得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵．即矩阵的转置矩阵一个m行n列矩阵A的转置矩阵是一个n行m列的矩阵．7那么就称这两个矩阵相等.例1已知而且A=B，求a,b,c,d．解根据矩阵相等的定

3、义，可得方程组8解得a=5,b=2,c=2,d=-1，即当a=5,b=2,c=2,d=-1时A=B．应当注意的是：矩阵与行列式是两个不同的概念，行列式是一个算式，计算结果是一个数，而矩阵是有数构成的一个数表；记法也不同，行列式用的是两条竖线，而矩阵用的是一对圆括号或中括号．9显然，两个m行n列的矩阵相加（减）得到的和（差）仍是一个m行n列的矩阵．应注意，只有当两个矩阵的行数与列数分别相同时，它们才能作加减运算．容易验证，矩阵的加法运算满足以下规律：（１）交换律：A+B=B+A；（２）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)．

4、二、矩阵的加法和减法10例2已知求A+AT和A-AT．1112定义一个数k与一个m行n列矩阵相乘，它们的乘积为kA，并且规定Ak=kA．例如，设三、数与矩阵相乘13设甲、乙两家公司生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型号的计算机，月产量（单位：台）为如果生产这三种型号的计算机的每台的利润（单位：万元/台）为四、矩阵与矩阵相乘14则这两家公司的月利润（单位：万元）应为可见，甲公司每月的利润为29．1万元，乙公司的利润为34．1万元．矩阵与矩阵乘法的一般定义如下：则由元素15构成的m×n矩阵称为矩阵A与B的乘积，记为C=AB．⑶乘积C中第i行第

5、j列元素Cij等于A的第i行元素与B的第j列元素对应乘积之和，即．⑴A的列数必须等于B的行数，A与B才能相乘；⑵乘积C的行数等于A的行数，C的列数等于B的列数；由定义可知：16AD无意义．171819由上例可知，单位矩阵I在矩阵的乘法中与数1在数中的乘法中所起的作用相似．若两个矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B是可交换的由于矩阵乘法不满足交换律，所以在进行运算时，千万要注意，不能把左、右次序颠倒．矩阵乘法满足如下运算规律：（１）结合律：(AB)C=A(BC)；（２）分配律：A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+C

6、A；（３）k(AB)=(kA)B=A(kB)，k为任意常数．20因为AB=BA，所以A与B可交换.21称为矩阵A的k次幂．矩阵A的运算满足由于矩阵乘法一般不满足交换律，因此一般来说2223对于线性方程组五、利用矩阵表示线性方程组24它是一个m行一列的矩阵，根据矩阵相等的定义可得所以方程组可以用矩阵的乘法来表示．方程组中系数组成的矩阵A称为系数矩阵，25方程组中系数与常数组成的矩阵称为增广矩阵，记为26例7利用矩阵表示线性方程组27因为，所以方程组可表示为281.矩阵的概念2.矩阵的相等3.矩阵的加减4.数乘与转置5.矩阵的

7、乘法6.逆矩阵7.矩阵方程六、小结七、作业习题7.2135729