矩阵概念和基本运算.ppt

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1、矩阵的概念与基本运算欧阳顺湘北京师范大学珠海分校2005.3.27称为方程组的增广矩阵称为方程组的系数矩阵设有线性方程组线性方程组与矩阵之间可建立一一对应的关系定义1由m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)称为m×n矩阵.排成的m行n列数表,记成某学校印刷厂印制甲、乙、丙三种类型的作业本，一、二月份的生产与销售情况如下表：的第一个下标称为行标，第二个下标称为列标。称作矩阵的元素。矩阵，●矩阵的概念●行矩阵（行向量）——只有一行的矩阵。等……●列矩阵（列向量）——只有一列的矩阵。等……几种特殊形式的矩阵等…

2、…●零矩阵——所有元素都为零的矩阵，简记作。●方阵——行数和列数相等的矩阵。如：等……二阶方阵三阶方阵n阶方阵如等……●对角形矩阵——主对角线上的元素不全为零，其它的元素都为0的方阵，简记作。●单位矩阵——主对角线上的元素都是1的对角形矩阵，简记作。如：等……●上三角形矩阵——主对角线下方元素全为零、上方的元素不全为0的方阵。如：等……●下三角形矩阵——主对角线上方的元素全为零，下方的元素不全为0的方阵。●同型矩阵：有相同的行数与相同的列数的两个矩阵，称为同型矩阵。如：只有矩阵与矩阵同型注意：同型是相等的必要条件。●相等矩阵

3、：若两矩阵同型且对应位置上的元素相等，则称相等，记作。如：且，例题：已知求的值。，，关系式矩阵的基本运算及性质＋，－×（有两种），/一矩阵的加法定义2设A=(aij),B=(bij)都是m×n矩阵,矩阵A与B的和例1记成A+B,规定为两个印刷厂：矩阵的加法运算满足规律2.(A+B)+C=A+(B+C)(结合律)3.A+0=A4.设A=(aij),记–A=(−aij),规定A−B=A+(−B)二数与矩阵的乘法定义3规定为称–A为A的负矩阵,1.A+B=B+A(交换律)易知A+(−A)=0例2若那么3A=A3数乘矩阵的运算满

4、足规律：A,B为矩阵.三矩阵与矩阵的乘法定义4设A=(aij)是一个m×s矩阵,B=(bij)是一个s×nA与B的乘积记成AB，即C=AB.规定A与B的积为一个m×n矩阵C=(cij)，其中AB=ABm×ss×nm×n矩阵,例3例4例5例6一般来说，AB≠BA,若矩阵A、B满足AB=0,n阶矩阵称为单位矩阵.如果A为m×n矩阵，那么即矩阵的乘法不满足交换律.未必有A=0或B=0的结论.n阶矩阵称为对角矩阵.两个对角矩阵的和是对角矩阵，两个对角矩阵的积也是对角矩阵.矩阵的乘法满足下述运算规律●矩阵的基本运算及性质（1）交换律A

5、+B=B+A（2）结合律（A+B）+C=A+（B+C）●矩阵的加法矩阵加法的运算规律：注意：只有同型矩阵才能相加。例显然成立●矩阵的减法设，则称矩阵为A的负矩阵，记作。若A、B为同型矩阵，则规定即，●数乘矩阵如：若，则注意：数乘矩阵时，矩阵的每一元素都要乘以常数K。等……数量矩阵●数乘矩阵的运算规律：●矩阵的乘法设则其中行列左矩阵右矩阵A的列数B的行数例如：无意义！左边矩阵右边矩阵的列数的行数注意：AB存在，BA无意义，例题：计算下列各题（1）（2）AB与BA不同型同型但不相等。（3）（4）（5）（6）特殊AB=BA（1）一

6、般地，，即乘法不满足交换律。（2）当AB=BA时，称A、B为可交换矩阵，或称A、B可交换。此时，A、B必为同阶方阵。小结与特别地，有：，即可交换。（8）（7）或矩阵的乘法运算不满足消去律●矩阵相乘的运算规律：一般地：或若A是方阵，则乘积有意义，记作称为A的k次幂。或（1）（2）（3）（4）（5）性质●线性方程组的矩阵表示法（2）——（1）若记：则方程组（1）可记为：