矩阵的概念与矩阵运算ppt课件.ppt

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1、第二章矩阵§1矩阵的概念§2矩阵的线性运算、乘法和转置运算下页第二章矩阵本章要求１．掌握矩阵的运算，了解方阵的幂、方阵乘积的行列式；２．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及矩阵可逆的充要条件，掌握求逆矩阵的方法（伴随矩阵求逆及初等变换求逆）；３．掌握矩阵的初等变换和求矩阵的秩的方法.本章重点用初等变换求逆矩阵及求矩阵的秩的方法.下页在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线性方程组的每个方程对应一个有序数组：a11x1+a12x2++a1nxn=b1a21x1+a22x2++a2nxn=b2a

2、m1x1+am2x2++amnxn=bm(a11a12a1nb1)(a21a22a2nb2)(am1am2amnbm)→→→→这些有序数组可以构成一个表a11a12a1nb1a21a22a2nb2am1am2amnbm这个表就称为矩阵.§1矩阵的概念下页其中aij称为矩阵的第i行第j列的元素.一般情况下，我们用大写字母A，B，C等表示矩阵.mn矩阵A简记为A(aij)mn或记作Am

3、n.a11a12a1na21a22a2nam1am2amn定义1由mn个数aij(i1,2,,m；j1,2,,n)排成一个m行n列的矩形表称为一个mn矩阵，记作下页零矩阵所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O.行矩阵与列矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小写黑体字母a，b，x，y等表示.例如a=(a1a2an)，b1b2bmb=.负矩阵-a11-a12-a1n-a21-a22-a2

4、n-am1-am2-amn称矩阵为A的负矩阵,记作–A.下页b11b21bn10b22bn200bnnB=.A=.a11a12a1n0a22a2n00ann如下形式的n阶矩阵称为上三角形矩阵.三角形矩阵如下形式的n阶矩阵称为下三角形矩阵.方阵若矩阵A的行数与列数都等于n，则称A为n阶矩阵，或称为n阶方阵.下页a11000a22000annA=.对角矩阵如下形式的n阶矩阵称为对角矩阵.对角

5、矩阵可简单地记为A=diag(a11,a22,,ann).单位矩阵如下形式的n阶矩阵称为单位矩阵，记为En或E.100010001E=.定义2矩阵相等：设A(aij)，B(bij)为同阶矩阵，如果aijbij(i1,2,,m；j1,2,,n)，则称矩阵A与矩阵B相等，记作AB.下页第二节矩阵的线性运算、乘法和转置运算四、转置矩阵及对称方阵一、矩阵的加法二、数与矩阵的乘法三、矩阵的乘法五、方阵的行列式下页一、矩阵的加法定义1设A与B为两个mn矩阵

6、ABa11+b11a12+b12a1n+b1na21+b21a22+b22a2n+b2nam1+bm1am2+bm2amn+bmn=.a11a12a1na21a22a2nam1am2amnA=，b11b12b1nb21b22b2nbm1bm2bmnB=，A与B对应位置元素相加得到的mn矩阵称为矩阵A与B的和，记为AB.即C=A+B.下页例1．设357220430123A

7、=，132021570648B=，则357220430123A+B=132021570648+3+15+37+22+02+20+14+53+70+01+62+43+8=48924191007611.=矩阵的加法：设A(aij)mn与B(bij)mn，则A+B=(aij+bij)mn。下页设A,B,C都是mn矩阵.容易证明，矩阵的加法满足如下运算规律：（1）交换律：A+B=B+A;（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C);（3）A+O=A，其中O是与A同型的零矩阵;矩阵的减法可定义为:显然：若A=B，则

8、A+C=B+C，A-C=B-C；若A+C=B+C，则A=B.（4）A+(-A)=O，其中O是与A同型的零矩阵.下页a11a12a1na21a22a2nam1am2amnA=，定义2设A(aij)为mn矩阵则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的mn矩阵称为数k与矩阵A的积，记为kA.即ka11ka12