矩阵的概念与运算.ppt

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1、§1矩阵的概念与运算一、矩阵的概念二、矩阵的运算1一、矩阵的概念2则线性变换(1)与数表(2)存在着一一对应关系.线性变换(1)中的系数按方程的顺序可排成m行n列的一张数表引例2.一般线性方程组3方程组(3)的解取决于系数与常数项,而系数与常数项按方程的顺序也可排成如下m行(n+1)列的数表4则线性方程组(3)与数表(4)也构成一一对应关系.因此,对线性变换(1)和线性方程组(3)的研究可转化成对数表(2)与数表(4)的研究.为此下面引进矩阵的概念.5称为矩阵.定义1.排成m行n列的数表简记为称为矩阵A的元素.6元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的

2、矩阵称为复矩阵.例如是一个3阶方阵.是数表.1.方阵.当行数与列数都等于n时,矩阵A称为n阶方阵.几类特殊矩阵7是数,有行列式的运算规律.2.行矩阵、列矩阵.只有一行的矩阵称为行矩阵.只有一列的矩阵称为列矩阵.8对一般的阵可构成m个行阵,n个列阵.如是零阵.元素都是零的矩阵称为零矩阵,记为O.3.零阵.4.相等矩阵若9A=B.例1.若10再如则A=B,A≠C.11二、矩阵的运算1.加法定义3.设有两个矩阵则矩阵A与B的和记作A+B,规定为122.数与矩阵相乘定义4.规定为13例3.又如:14应为:但是又如:153.矩阵与矩阵相乘例4.161106411

3、×4+6×14849344×3+9×4=48.17一般:(第i行),(第j列)18则称C为A与B的乘积.记C=AB.19注意:左阵的列数=右阵的行数.否则,“AB”无意义.例5.则20一般情况下,对矩阵运算规律（其中为数）;214.矩阵的转置与对称阵矩阵的转置定义6.一般:若22称为A的转置.运算规律23例6.方阵对称矩阵A特点:A特点:24一般:则称A为对称阵.注意:A为对称阵例7.证明:对任何方阵A,证明:25例8.设A、B均为n阶对称阵,证明:AB是对称阵的充要条件是AB=BA.证明:“”“”26