矩阵的概念及运算.ppt

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1、矩阵是数学学习与研究中最最常用的工具和手段，利用它可以丢掉那些可忽略的部分，从而抓住问题的本质，简化问题的复杂程度，并通过对矩阵的研究，完成对问题的全面解决。比如：线性方程组就可用矩阵来解决。概述第二章矩阵矩阵已广泛应用于自然科学的各个分支及经济分析、经济管理等许多领域.在这一章里，我们将介绍矩阵的运算，方阵的行列式，可逆矩阵，矩阵的初等变换等关于矩阵的基本理论.这些内容是学习后面各章的基础.§2.1矩阵的概念引例线性方程组未知量的系数可排成一个矩形阵列：加常数项有无解，由未知量系数和常数项决定。对方程组有无解的研究可转为对上述矩形阵列的研究。例例P.51四种

2、产品，四个季度的产值也可用一个矩形阵列（或矩形表）来描述：季度产值从该矩形表上可以看出产值的变化规律。矩阵的定义定义2.1由个数排成的m行n列数表（阵列）称为一个m行n列矩阵，习惯上称为该矩阵的“大小”或型。P.52其中表示第i行第j列处的元素。简称为矩阵，矩阵的记法(1)A，B，C，......(2)，，，......(3)，例：(小括号和中括号是矩阵的标志性符号)•所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O.例如特别：(P.52)•行（列）阵：•当m=n时，称矩阵为n阶矩阵或n阶方阵。例如是三阶矩阵一阶（m=n=1)矩阵就是一个数。

3、A

4、例注意：长方形矩阵不能

5、取行列式！方阵的行列式定义2.2矩阵相等另外：•非负矩阵：•A的负矩阵：行列式与矩阵的不同之处：行列式矩阵•行列式是一个数量•矩阵是一张矩形表•行数与列数相等•行数与列数可以不相等•不同阶的行列式值可能相等•不同大小的矩阵不可能相等例如：数的运算加法减法乘法除法矩阵的运算加法减法•数乘矩阵•矩阵乘矩阵无定义了逆矩阵在学习矩阵的运算及性质时，要注意与数的运算及性质对比，哪些同，哪些不同。§2.2矩阵的运算例甲、乙两个厂的四种产品，四个季度的产值分别如矩阵A、B，季度产值则总和（一）1.矩阵的加法P.53定义2.3设矩阵与是两个矩阵，将它们的对应元相加，得到一个新

6、的矩阵：则称矩阵C为矩阵A与B之和，记作C=A+B.问：两个矩阵的大小不同可否相加？不能！由负矩阵可定义矩阵减法(P.55)：设A、B为同型矩阵，则A与B的差，即矩阵减法：2.矩阵的数乘定义2.4设是一个矩阵，k是一个常数，则称矩阵为矩阵A与数k的乘积(矩阵的数乘)，记为kA.这与行列式的性质不同!重要结果：A为n阶方阵P.53例有4名学生，3门课平时成绩期末成绩期中成绩总成绩中,分别占10%、20%和70%D=0.1C+0.2B+0.7A0.1+0.2+0.7总成绩矩阵矩阵的加(减)法与数乘统称为矩阵的线性运算。例例设A为三阶矩阵，且

7、A

8、=2,则一般有：

9、线性运算的八大性质（运算律）（P.54）设A、B、C、O为同型矩阵，k，l为数，则有加法数乘与“数”相应的运算律相同。例(P.56例4)已知解（二）矩阵的乘法引例工厂产量ⅠⅡⅢⅣ产品甲乙丙产品甲乙丙价格单位利润工厂ⅠⅡⅢⅣ总收入总利润总收入＝产量x价格总利润＝产量x单位利润P.56ABC定义2.5P.59定义A,B之积其中，称A左乘B，或B右乘A能相乘的条件：左矩阵的列数与右矩阵的行数相等；积矩阵的大小：左矩阵的行数乘右矩阵的列数。即••要点：左行乘右列，“长度”相等;积矩阵大小为：左首右尾。例（P59)ABBA交换律不成立！练习解一个数例（P61)两个矩阵

10、A、B，矩阵可交换定义P.61则称A与B可交换；例（P60)例（P63)AC=BCA=B或C=O消去律不成立！例：线性方程组的矩阵表示令则方程组可改写为：P.63例9解矩阵方程例（P.64）解由题设，有得方程组：以后还有更简便的方法—逆矩阵法！矩阵乘法的性质P.64证明略4°(P.65中)设A,B为n阶方阵同阶方阵之积的行列式，等于行列式之积。注意：1°长方形矩阵不能用该性质！如：（三）矩阵的转置定义2.6转置例P.66一阶矩阵有数性质(P.66)证明4o：(i)推广：容易验证左右两边矩阵的大小相等。现证左右两边矩阵的元素对应相等。例如：可能无意义注意：定义：

11、设A是n阶方阵，k为正整数，性质：但是，一般地（四）方阵的幂与数的方幂同与数的方幂不同P.67—A的k次幂—n阶单位矩阵定义例设解法一：思路：找规律，再用归纳法证明。假设成立，则由数学归纳法：解法二以后讲练习1.设A,B为n阶方阵，讨论在什么条件下有解可见：只有当A,B可以交换时，上述结果才成立，即，二项式公式和因式分解公式对于矩阵不一定成立！即一般：但当AB=BA或B=I时公式成立。练习解巧办法！矩阵乘法与数的乘法不同的地方：1.AB与BA可能都无意义，或其中一个有意义；2.AB与BA都有意义，一般3.推不出4.AC=BCA=B或C=O推不出5.n阶方阵A、

12、B，一般6.一般情况下，二项式公式对矩