2-1 矩阵的概念及运算

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1、第2章矩阵矩阵论在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支。矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。本章内容引入矩阵概念，继而介绍矩阵的基本运算和可逆阵的概念，最后介绍简化矩阵运算的技巧——矩阵分块法。2.1矩阵的概念及运算一、矩阵的概念(a11a12a1nb1)(a21a22a2nb2)(am1am2amnbm)这个数表就称为矩阵引例一个线性方程组与一个数表存在一一对应关系是系数矩阵.而注意矩阵与行列式的不同，

2、行列式是数值，矩阵是数表。一.矩阵的定义定义2.1由个数为行列矩阵.简称矩阵排成的行列的数表，称横的各排称为矩阵的行，竖的各排称为矩阵的列.称为矩阵的第行第列的元素.元素为实数的矩阵称为实矩阵,我们只讨论实矩阵.矩阵通常用大写字母等表示矩阵简记为行数列数行矩阵(行向量)列矩阵(列向量)当时，称A为阶方阵或阶矩阵.几种特殊的矩阵对角（方）阵（1）零矩阵（2）（3）单位阵（4）（5）两个矩阵的行数相等、列数也相等时，称它们是同型矩阵.如（6）若同型矩阵中，对应元素则矩阵，称为相等的矩阵.三角（方）阵上三角阵下三角阵矩

3、阵举例例1某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵其aij为工厂向第i个店发送第j种产品的数量这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵其中bi1为第i种产品的单价bi2为第i种产品的单件重量如即为工厂向第2个店发送第3种产品的数量.通过后面算矩阵AB的乘积可以得到每个商店总重和总价.例2四城市间的单向航线如右图令从市到市有一条单向航线从市到市没有单向航线主对角线箭头的含义是有一条单向航线Lena像素是512*512线性代数在哪里??From“Playboy”,1972年11月刊元素即所在的小网格的灰度值!这

4、是一个矩阵这个呢?彩色图片!ColorR.G.B.R—RedG---GreenB---Blue这是三个512阶的矩阵!二.矩阵的运算矩阵的运算主要是指矩阵的⑴加法⑵数与矩阵相乘⑶矩阵与矩阵相乘等运算.设矩阵与，定义同型阵称是矩阵A的负矩阵运算性质：用元素间的运算定义矩阵间相应的运算2.矩阵的加减法例3设解例子解为同型阵，为数.称为数与矩阵A的乘法，简称数乘.3.数与矩阵相乘用实数的运算定义矩阵间相应的运算记作：运算性质：加法与数乘合称矩阵的线性运算，即注意与行列式运算的不同也称为A,B的线性组合求2A-B.例5

5、已知解2.2.3矩阵与矩阵相乘设有两个线性变换与定义2.4P(34)设并把此乘积记作设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个矩阵，其中4、矩阵的乘法请记矩阵与乘积的可行条件例7设求及.解因为是矩阵，是矩阵，由定义4知，与不能相乘.!!!例8设求及.解因为，都是2阶方阵，故与都有意义.于是显然矩阵乘法不满足交换律有非零的零因子这正是矩阵运算与数运算的不同！但也有例外，比如设则有由以上例题得出以下结论：练习设解但是矩阵乘法不满足消去律这又是矩阵与数的不同！1.矩阵乘法不满足交换律；2.矩阵乘法有非

6、零的零因子；3.矩阵乘法不满足消去律矩阵乘法满足什么运算规律？矩阵乘法满足下列运算规律（假设运算都是可行的）：1.2.（为常数）3.4.结合律左右分配律为单位阵E相当于14中m,n不同时不是交换律!例11试求出所有与A可交换的矩阵。解则待定系数法5矩阵的转置定义转置矩阵运算规律(1)(3)(4)(2)证(4)设则记需证即(5)可推广到多个矩阵:下面将线性方程组写成矩阵形式记系数矩阵则上述方程组可写为解法一因为所以0171413310解法二01714133107注设A为n阶方阵如果满足ATA即aija

7、ji(ij12n)则称A为对称矩阵简称对称阵对称阵的特点是它的元素以对角线为对称轴对应相等例8设列矩阵X(x1x2xn)T满足XTX1E为n阶单位阵HE2XXT证明H是对称阵且HHTEE4XXT4XXTE4XXT4X(XTX)XTE4XXT4(XXT)(XXT)HHT所以H是对称阵HT证明因为HE2XXTET2(XXT)T(E2XXT)T(E2XXT)2H2E例2.8(P40)设列矩阵满足为阶单位阵，，证明是对称

8、矩阵，且.证为对称矩阵即定义(P40)对称矩阵：方阵定义2.8(矩阵的乘幂)设是阶方阵，定义（其中k为正整数）特别正整数幂运算规律注意：一般地个个个成立的条件是：下面的运算是关于方阵定义的因此，一般例13求An。解例2.8设求.解求计算量太大个交换律可能不成立,但结合律总成立;利用结合律简化问题上节例2中四城市间的单向航线矩阵即过市的双向航线有两条．记，则为从市经一次中转