2-1矩阵及其运算

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1、西安交通大学线性代数与空间解析几何第二章矩阵11矩阵及其运算2逆矩阵3分块矩阵及其运算3初等变换与初等矩阵45矩阵的秩1西安交通大学线性代数与空间解析几何第一节矩阵及其运算作业习题2.1(A)1，2(3),7(2),10(1),112西安交通大学线性代数与空间解析几何一、矩阵的概念定义2.1.1(矩阵)由mXn个数排成m行n列的数表行标aij列标称为一个mXn矩阵，记作3西安交通大学线性代数与空间解析几何实矩阵，复矩阵n阶方阵:m=n,主对角线，副(次)对角线1阶方阵[a]=a同型矩阵：两个矩阵的行数和列数分别相等4西安交通大学

2、线性代数与空间解析几何特殊矩阵1零矩阵mn个元素全为零的矩阵.记作Omn或O，即注意不同的零矩阵未必相等.2单位矩阵主对角线元素都是1,其余元素全为0的n阶方阵。记为I或E,或In,En.5西安交通大学线性代数与空间解析几何3.行矩阵仅有一行的1Xn矩阵.也称为行向量。4.列矩阵仅有一列的mX1矩阵.b1b2bm也称为列向量。6西安交通大学线性代数与空间解析几何5.上(下)三角矩阵主对角线下(上)边的元素全为0的n阶方阵.6.对角矩阵主对角线以外的元素全为0的n阶方阵.7西安交通大学线性代数与空

3、间解析几何定义2.1.2(矩阵相等)设矩阵j1,,n），则称A与B相等，记为A=B.例如8西安交通大学线性代数与空间解析几何二、矩阵的代数运算定义2.1.3(矩阵加法)若A(a),B(b)ijmnijmn，规定AB(ab)ijijmn注:只有同型矩阵才能进行加法运算.例如210=510对于B(b)，B(b)称为负矩阵ijmnijmnABA(B)(ab)ijijmn9西安交通大学线性代数与空间解析几何加法的运算规律:(2)(AB)CA(BC)(3)AOA(4)

4、A(A)O定义2.1.4(数乘矩阵)例如若A(a),R,规定ijmnAA(a)ijmn10西安交通大学线性代数与空间解析几何数乘的运算规律:(2)(klA)()klA(3)(klA)kAlA(4)(kAB)kAkB注:矩阵的加法和数乘运算合称线性运算.例111西安交通大学线性代数与空间解析几何定义2.1.5(矩阵乘法)若A(a)，B(b),ijmsijsn规定ABC()c,ijmnｓ其中cijabi11jabi22jabissj＝abikkjｋ1（i12，，

5、，mj；12，，，n）注：1）条件左列=右行2）方法左行右列法——cij等于左矩阵A的第i行与右矩阵B的第j列对应元素乘积的和3）结果左行右列Ｃ的行数=A的行数，Ｃ的列数=B的列数12西安交通大学线性代数与空间解析几何特别情形：1s与s1矩阵的乘积为一阶方阵，即一个数b11baaa21abababab11121s111112211ss11kk1bs1s1与1s矩阵的乘积为一个ｓ阶方阵b11ba1111ba1112ba111sbbababa21a

6、aa21112112211s11121sbbababas1s111s112s11s13西安交通大学线性代数与空间解析几何例214西安交通大学线性代数与空间解析几何矩阵乘法的运算规律:(2)(ABC)ABC()(3)(kAB)AkB()kAB()(4)(ABC)ABAC(5)(ABC)ACBC问题：1AB?BA2AB0?A0或B0例如，15西安交通大学线性代数与空间解析几何例3矩阵与线性变换的关系n个变量　　　　　与　个变量xx,,,xmyy,,,y12n

7、12m之间的关系式y1a11x1a12x2a1nxn,y2a21x1a22x2a2nxn,ymam1x1am2x2amnxn.表示一个从变量　　　　　xx,,,x到变量yy,,,y12n12m一个线性变换.其中aij为常数.16西安交通大学线性代数与空间解析几何线性变换的系数构成的矩阵称为线性变换的矩阵y1a11x1a12x2a1nxn,y2a21x1a22x2a2nxn,yAxymam1x1am2x2

8、amnxn.线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.a11a12a1nyx11aaa21222nyx2Ay2xam1am1amnymxn17西安交通大学线性代数与空间