高数-矩阵的概念及运算

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1、2.2矩阵及其运算矩阵也是是线性代数的重要工具，矩阵理论的应用，最常见也最重要的就是解线性方程组。本节知识点和教学要求¨知识点–矩阵的概念-矩阵的加减和倍数–矩阵的乘法-初等变换和矩阵的秩–逆矩阵-求解可逆矩阵方程¨教学要求–熟练掌握矩阵运算的基本法则–熟练运用初等变换，进而能求矩阵的秩–熟练运用初等变换求矩阵的逆–熟练运用初等变换求解可逆矩阵方程2.2.1矩阵的概念•引例某商店上半年电视销售情况(单位:百台)简记为51吋47吋42吋一分店735735二分店120120某商店下半年电视

2、销售情况(单位:百台)51吋47吋42吋1065一分店1065231二分店231求全年电视销售情况？7103655122301定义a11a12a1naaaA21222n¨矩阵——矩形数表用大写黑体拉丁字母A,B,C等表示aaam1m2mn元素aij数学理论中，元素可以是数，也可以是其他对象;方阵：m=n时,称n阶方阵或n阶矩阵;1阶矩阵就是一个数.向量:1×n阶矩阵——行向量,n×1阶矩阵——列向量.•矩阵的简记法:B1

3、–(aij)mnB2–用行向量表示A1,A2,An–用列向量表示B这里，Aj为列向量，Bi为行向量。m矩阵的相等矩阵的元素都一一对应相等时，两个矩阵才相等.行数和列数不相等的矩阵绝不能相等!行数和列数相同的矩阵称同型矩阵，即两个矩阵相等的先决条件是两者为同型矩阵。零矩阵矩阵O=(aij)mn的mn个元素均为零。0k105020O即2205k1k1转置矩阵ATa11a12

4、a1na11a21an1a21a22a2nATa12a22an2Aaaaaaan1n2nn1n2nnn¨显然,n阶方阵的转置仍然是n阶方阵.¨(AT)T=A.系数矩阵和增广矩阵¨例2.2.1三元线性方程组1x22x33x88,123055x22x44,2322x03x213的系数矩阵和增广矩阵分别是n元线性方程组的情况见教材127页。中国古代算书《九章算术》中的

5、“方程”¨刘徽的《九章算术》中《方程》章是这样说的。“程，课程也。群物总杂,各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程.”¨这段话的意思可以从《方程》章的第一道题看出,题目是“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗;上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉,下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何?”(秉——捆)《方程》章的解法为¨“置上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗于右方;中、左行列如右方。以右行上禾遍乘中

6、行而以直除。又乘其次,亦以直除……”(直除——减去对应的各数，到不能再减为止).按照这种解法，列出下列算式：¨用右行上禾秉数3遍乘中行各数，得6,9,3,102减去右行对应各数，得3,7,2,63，再减一次，得0,5,1,24，不能再减了(消去一个未知数——上禾每秉的实);又用3遍乘左行各数,得3,6,9,78减去右行对应各数，得0,4,8,39.如下:¨接着用中行“中禾不尽者遍乘左行而以直除……”，即接着消去左右两行中的中禾每秉的实,同现代的解一次方程组的加减消元法十分一致.¨最后:左方下禾不尽

7、者，上为法，下为实，实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。”¨法国的彪特在刘徽之后约一千三百年的《算术》一书中开始用不甚完整(没有认识负数)的加减消元法解联立一次方程组。¨前面解题过程中的方框即可视为矩阵,可见矩阵并以矩阵解一次方程组是我国古代数学家首创.2.2.2矩阵的加减和倍数1、矩阵的加法１)定义设有两个mn矩阵Aa,Bb,那末矩阵ijij

8、A与B的和记作AB，规定为a11b11a12b12a1nb1na21b21a22b22a2nb2nABam1bm1am2bm2amnbmn说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.1235189例如190654(即引例)368321121385913114169504744.3362816892)