矩阵的概念运算(一)

《矩阵的概念运算(一)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、第五章矩阵辞海：将mn个元素排成m行n列的矩形称为m行n列矩阵。当m=n时称为n阶方阵。矩阵可按某些规则进行加法、乘法以及数与矩阵相乘等运算。矩阵的概念最初是由解线性方程组产生。我国古代用筹算法解线性方程组时就是用筹码排成矩阵来进行的。矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研允对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。百度“矩阵”，找到约约60，100,000条结果；Google“matrix”，找到约467,000,000条结果.背景知识：矩阵的历史■矩阵的概念是在解线性方程组中产生的。如我国《九章

2、算术》（公元前1世纪）用筹算解线性方程组时，就是把算筹排列成矩阵形式來进行的。■1850年由西尔维斯特（Sylvester）（英）首先提出矩阵的概念。■1857年卡莱（A.Cayley）（英）建立了矩阵运算规则。■矩阵由最初作为一种工具经过近两个世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支一一矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。■矩阵及其理论现己广泛地应用于自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别、图像

3、处理等方面都有广泛应用。5.0矩阵的概念一、教学内容1、矩阵的概念2、矩阵相等3、几种特殊矩阵二、教学目的了解矩阵的产生背景，掌握矩阵的概念，理解矩阵相等的涵义，认识儿种特殊矩阵三、重点难点矩阵相等一、引例我们先看几个例子例1:设奋线性方程组:Xj-2%2+%3+3x4=33x,+8x2-x3+x4=1x,-9%2+3x3+7x4=7这个方程组未知量系数及常数项按方程组屮的顺序组成一个4行5列的数表如下:"15-1-1-1、1-213338-111J-9377?这个数表决定了给定方程组是否有解？以及如果有解，解是

4、什么等问题，因此对这个数表的研宄就很有必要。例2:在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标的旋转（逆时针方向旋转沒角），那么平面直角坐标变换公式为：=/cos沒一yzsin3[y=x’sin沒+yfcos3显然，新旧坐标之间的关系，完全可以通过公式中系数所排成的2X2数表^cosO-sindy^sin^cos汐>表示出来。空间线性变换也有类似的情形。例3:生产m种产品需用n种材料，如果以％表示生产第i种产品（i=l，2，...，m）耗用第j种材料（j=l，2，...，n）的定额，则消耗定额可以用一个矩形表來表示

5、。12•參•n1an^12參•參&ln2^21^22•••^2n蠡蠢參ee•ee•ee•ee•ma,nla,n2•••^nin这个表也可以简单地表示为m行n列的数表:a\a2a“21“22•••“2'i••e•••••••••^m2^mn>这个矩形数表描述了生产过程中产出的产品与投入材料的数量关系。前面的这些矩形数表我们把它称为矩阵。一般地，我们给出矩阵的定义如T:二、矩阵的概念定义1设F是数域，用F中mXn个数aij排成的m行n列的数表/a\a2a以21^22^2/j*參*••••••••醬

6、^m^m2以曜J双下标记法是法W数学家柯西在1815年发明的；矩阵记号是英国数学家卡莱于1857年创用的。称为数域F上的一个m行n列矩阵，简称mXn矩阵，其中％称为矩阵的第i行第j列元素。通常用大写字母A、B、C、...表示矩阵，为了标明矩阵的行数m和列数n，也可用Awx„表示，或记作(％)wxz,。用Mmn(F)表示数域F上全体mXn矩阵构成的集合。这样，A是数域F上一个m行n列矩阵，可表为：AgA/w,(F)如例1中线性方程组、的增广矩阵是一个4X5矩阵%,+5x2-x3-x4=-1x,-2x2+x3+3x

7、4=33x,+8x2-x3+x4=1x,-9x2+3x3+7x4=75-1—1-1若用A表示这个矩阵，即A1-213338-1111-9377注：1868年英国数学家斯密思引进术语“增广矩阵”三、矩阵相等定义2如果两个矩阵A、B有相同的行数与相同的列数，并且对应位置上的元素均相等，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。即设>1=x，，如果(l)m=s，n=t(2)%=/?"，，•=1，2，"”J:=l，2，...，n贝0A=Bo思考：矩阵与行列式有何不同？1、从本质上看：矩阵是表，行列式是数；2、从形式上看：矩阵

8、的行数和列数可以不同，而行列式的行数和列数必须相同;矩阵采用（）记号，而行列式采用II记号；3、从相等上看：矩阵相等要求类型相同且对应元都相同，而行列式相等只需其值相等。下列等号是否成立？110<110、1110<1nio]010==二1010二=0101<0iJlolji0i<10b7J四、几个特殊矩阵1、零矩阵：元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为0或OmXn。<00