6.1.1 单叶解析函数的映射性质

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1、第六章保形映射第一节单叶解析函数的映射性质1、一般概念：解析函数所确定的映射是保形映射。它是复变函数论中最重要的概念之一，与物理中的概念有密切的联系，而且对物理学中许多领域有重要的应用。如应用保形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题。不但如此，20世纪中亚音速及超音速飞机的研制促成了从保形映射理论到拟保形映射理论的发展。我们主要研究单叶解析函数的映射性质。设函数w=f(z)在区域内解析，并且在任意不同点，函数所取的值不同。那么我们就称它为区域的单叶解析函数，简称即为单叶函数。注解1、单叶函数是确定一个单射的解析函数。

2、例1、函数及是z平面上的单叶解析函数它们把z平面映射成w平面，其中是复常数，并且对于第二个映射。例2、在每个带形内单叶解析，并且把这个带形映射成z平面上除去从原点出发的一条射线而得的区域，，其中a是任意实常数。注解2、上面的例子把z平面上的区域映射成w平面上的区域。引理1.1设函数f(z)在解析，并且。设，那么在有p阶零点，并且对充分小的正数，存在着一个正数，使得当时，在内有p个一阶零点。证明*：在有p阶零点是显然的。由于f(z)不恒等于零，可以作出以为心的开圆盘，其边界为C，使得f(z)在上解析，并且使得及f’(z)除去外在上无其他零点。那么取w，使。现在应用儒歇定理，比

3、较f(z)-w及在内D的零点的个数。由于而当时可见f(z)-w及在D内的零点个数同为p（每个n阶零点作n个零点）。最后只须证明f(z)-w在D内的每个零点都是一阶的。这是因为，所以，而。定理1.1、设函数f(z)在区域D内单叶解析，那么在D内任一点，证明：反证之。假定，那么由引理1.1，可得出与单叶相矛盾得结论。注解1、如果一个函数在区域D内单叶解析，那么它的导数在D内任意一点不等于零；注解2、反之，这个定理的逆定理不成立，例如的导数在z平面上任意一点不为零，而这个函数在整个z平面上不是单叶的。定理1.2设函数w=f(z)在解析，并且，那么f(z)在的一个邻域内单叶解析。定

4、理1.3设函数w=f(z)在区域D内解析，并且不恒等于常数，那么是一个区域，即f确定从D到的一个满射。证明*：先证明是开集，即证明任一点是的内点。设，并且。由引理1.1，可以找到一个正数，使得对于任何满足的复数，我们有，使得。因此开圆盘包含在内，即是的内点。其次我们证明的连通性，即证明在内任意不同两点及可以用在的一条折线连接起来。我们有，使得。由于D是一个区域，在D内有折线连接及，在这里。函数w=f(z)把这条折线上每一条线段映射成内一条光滑曲线，从而把这折线映射成内连接及的一条光滑曲线：另一方面，由于是内的一个紧集，根据有限覆盖定理，它可以被内有限个开圆盘所覆盖，从而在内

5、可以作出连接及的折线。注解：如果w=f(z)在区域D内单叶解析，那么根据定理1.3，它把区域D双射成区域。于是f(z)有一个在内确定的反函数。定理1.4最大模原理：最大模原理及施瓦茨引理也是解析的基本性质之一，它在复变函数论中有大量应用。定理1.5如果函数w=f(z)在区域D内解析，并且

6、f(z)

7、在D内某点达到最大值，那么f(z)在D内恒等于常数。证明：由定理1.3，假定f(z)在D内不恒等于常数，那么是一个区域。设

8、f(z)

9、在达到最大值。显然，，而且必有一个充分小的邻域包含在内。于是在这个邻域内可以找到一点w'满足。从而在D内有一点z'满足w'=f(z')以及，这与所

10、设矛盾。因此f(z)在D内恒等于常数。注解1、此定理表明，在一个区域内不恒等于常数的解析函数，其模不可能在这个区域内达到最大值；注解2、此定理的结论具有非常明确的物理意义。系1.1设D是一个有界区域，其边界为有限条简单闭曲线C。设f(z)在D及其边界组成的闭区域上连续，在D内解析，并且不恒等于常数。设M是

11、f(z)

12、在上的最大值，即f(z)在上的最大模，那么f(z)在边界C上而且只在边界C上达到最大模。证明：显然。定理1.6设函数f(z)在区域D内单叶解析，并且，那么w=f(z)有一个在内单叶解析的反函数，并且如果，那么证明：先证明在内任一点连续。由引理1.1，任给，选取这

13、一引理结论中的正数及，使得，那么当时因此在内任一点连续。下面证明导数公式成立。当，并且时，我们有。于是因为当时，，所以即定理的结论成立。