单叶函数的系数估计.pdf

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1、第３４卷第１期杭州电子科技大学学报Ｖｏｌ．３４，Ｎｏ．１２０１４年１月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨａｎｇｚｈｏｕＤｉａｎｚｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＪａｎ．２０１４ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１－９１４６．２０１４．０１－０１１单叶函数的系数估计邓琴（杭州电子科技大学理学院，浙江杭州３１００１８）摘要：利用微分从属的方法，该文研究了单叶函数的一个子族的系数估计，得到了其准确的阶的估计，从而推广了一些作者的相关结果。关键词：单叶函数；解析函数；微分从属中图分类号：Ｏ１７４．５１文献标识码：Ａ文章编号：１００１－

2、９１４６（２０１４）０１－００５１－０３0引言ゥｎ倡设函数f（z）＝ｚ＋∑ａｎｚ在单位圆△：ｚ＜１内解析单叶，记其全体为Ｓ。用Ｓ表示星形函数族ｎ＝２的记号，Ｓｃ表示近于凸函数族的记号，Ｂα表示Ｂａｚｉｌｅｖｉｃ函数族的记号。若f（z）在ｚ＜１内解析，存在αiβ倡ｚf′（z）f（z）f（z）g（z）∈Ｓ，满足条件Ｒｅ＞０，α≥０，－ゥ＜β＜＋ゥ，则称f（z）∈Ｂ（α，β）。它f（z）g（z）ｚゥ倡λｎ们都是Ｓ的子类，且有Ｓ炒Ｓｃ炒Ｂα炒Ｂ（α，β）炒Ｓ。设f（z）∈Ｓ，［f（z）／ｚ］＝１＋∑Ｄｎ（λ）ｚ，ｎ＝１１

3、［１］１０＜λ＜１，对于系数Ｄｎ（λ）的估计，当λ＞时，已给出准确的阶。但当０＜λ≤时，仅能得到４４１－Ｄ２ｎ（λ）＝Ｏ（ｎｌｏｇｎ），此时Ｄｎ（λ）阶的准确估计是一个困难的问题，至今尚未解决。本文的目的是对f（z）∈Ｂ（α，β）研究其系数Ｄｎ（λ）的估计，得到其准确的阶的估计，从而推广了文献［２］中的相关结果。1主要结果为书写方便，用Ａ表示绝对常数，在不同的地方可以表示不同的常数。并用记号｛f｝ｎ表示函数ｎf（z）的泰勒展式中ｚ的系数。ｉθ［３］引理1设f（z）∈Ｓ，则对ｚ＝ｒｅ，１／２≤ｒ＜１，有：２２f′（

4、z）－１１∫ｄθ≤Ａ（１－ｒ）ｌｏｇ（１）０f（z）１－ｒ收稿日期：２０１３－０４－０９基金项目：国家自然科学基金青年基金资助项目（６１００３１９４）作者简介：邓琴（１９７９－），女，江西东乡人，副教授，单复变函数．５２杭州电子科技大学学报２０１４年ｉθ［４］引理2设函数p（ｚ）在单位圆△：ｚ＜１内解析，且p（０）＝１，Ｒｅ｛p（z）｝＞０，则对ｚ＝ｒｅ，１／２≤ｒ＜１，有：２p′（z）１＋ｒ∫ｄθ≤４ｌｏｇ（２）０p（z）１－ｒｉθ［５］引理3设f（z）∈Ｓ，则对ｚ＝ｒｅ，１／２≤ｒ＜１，有：ｒf（z）≤２（３

5、）（１－ｒ）采用文献［２］中类似的证明方法，并利用上面引理１３，得到以下５个引理。λ－λ引理4设f（z）∈Ｓ，h１（z）＝［f（z）］ｚ，０＜λ＜１，则：２λ｛h１（z）｝ｎ≤Ａｎ（４）λ－１－λ＋１引理5设f（z）∈Ｓ，h２（z）＝f′（z）［f（z）］ｚ，０＜λ＜１，则：ｎ２１＋４λ∑h２（z）ｍ≤Ａｎｌｏｇｎ（５）ｍ＝０２λ＋１１／２h２（z）ｎ≤Ａｎ（ｌｏｇｎ）（６）引理6设p（z），h２（z）同上所定义，则：ｚp′（z）２λ＋１３／２h２（z）≤Ａｎ（ｌｏｇｎ）（７）p（z）ｎ引理7设f（z）∈Ｓ，h２

6、（z）同上所定义，则：ｚf′（z）２λ＋１h２（z）≤Ａｎｌｏｇｎ（８）f（z）ｎ倡引理8设g（z）∈Ｓ，h２（z）同上所定义，则：ｚg′（z）２λ＋１h２（z）≤Ａｎｌｏｇｎ（９）g（z）ｎゥλｎ定理设f（z）∈Ｂ（α，β），［f（z）／ｚ］＝１＋∑Ｄｎ（λ）ｚ，０＜λ＜１，则：ｎ＝１２λ－１３／２Ｄｎ≤Ａｎ（ｌｏｇｎ）ｎ＝１，２，⋯（１０）式中，阶２λ－１为最佳值，不可改进。－iθ０iθ０证明不失一般性，设f（r）＝ｍａｘｚ＝ｒf（z），否则考虑函数ef（re）。记：λf（z）′λ－１１－λλ－λｎＤｎ＝ｚ＝

7、λ［f（z）］f′（z）ｚ－λ［f（z）］ｚｎ＝λh２（z）ｎ－ｚｎλh１（z）ｎ（１１）通过简短计算有：ｚf″（z）ｚf′（z）ｚh２′（z）＝h２（z）［＋（λ－１）－λ＋１］（１２）f′（z）f（z）αｉβ倡ｚf′（z）f（z）f（z）ｚf′（z）因为f（z）∈Ｂ（α，β），则存在g（z）∈Ｓ，使得Ｒｅ＞０。记：p（z）＝f（z）g（z）zf（z）αｉβf（z）f（z），则：g（z）ｚｚf″（z）ｚp′（z）ｚf′（z）ｚg′（z）＝－（１－ｉβ）－（α＋ｉβ－１）＋α（１３）f′（z）p（z）f（z）g（

8、z）由式（１２）（１３）得：ｚf′（z）ｚp′（z）ｚg′（z）ｚh２′（z）＝（ｉβ－λ）h２（z）＋（λ－α－ｉβ）h２（z）＋h２（z）＋αh２（z）（１４）f（z）p（z）g（z）第１期邓琴：单叶函数的系数估计５３２λ＋１３／２结合式（６）（９），从式（１４）中可得ｎh２（z）ｎ＝ｚh２′（z）ｎ≤Ａｎ（ｌｏｇｎ）。即：２λ３／２h２（z）ｎ≤Ａｎ（ｌｏｇｎ）（１