函数系数和部分线性模型中的估计问题

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1、函数系数和部分线性模型中的估计问题【摘要】：部分线性模型和函数系数线性模型的理论、方法和应用近一、二十年来有了迅速的发展。由于它们有着丰富的研究内容和广泛的实际应用范围，因而受到人们的极大重视。本论文主要研究函数系数部分线性模型、比例函数系数线性模型，给出了模型中的参数与未知函数的估计方法，并讨论了这些估计的渐近性质。本论文还讨论了部分线性模型的稳健M-估计。以下是各章内容的简要介绍。第一章简单地叙述了一元非参数回归模型的三类估计方法：局部光滑方法(Localmodellingapproach)，正交级数方法(Orthogonalseriesapproach)和样条方法(Spline

2、approach)。本论文使用局部光滑方法中的局部多项式方法给出未知函数的估计。第一章还讨论了多元回归模型。这里有一个很困难的问题即维数问题。由于维数的增加使得收敛速度相当慢，且估计极不稳定。在统计上将这一现象叫作“维数祸根”(curseofdimensionality)。为了克服维数祸根，人们已提出各种不同模型来降低维数。本论文为克服维数祸根问题，给出了两个变系数模型：函数系数部分线性模型和比例函数系数线性模型。第一章还回顾了稳健M-估计最近的一些发展情况。本论文讨论了部分线性模型的稳健M-估计。样本的独立假设，为数学和统计处理带来了很多方便，有些时候也是合理的。但是在某些实际问题

3、中，特别在经济数据方面，样本并非是独立的观察值，而是相互依赖的。第一章简单地总结了现有的数据混合相依类型。α-混合相依是混合相依中较弱的一种。很多随机过程，包括很多时间序列都能够满足它的要求。本论文除了讨论样本是独立的情况，还讨论了样本是α-混合相依的情况。本论文的第二章讨论函数系数部分线性模型。Hastie和Tibshirani(1993)提出了变系数模型或称函数系数模型(varying-coefficientmodelsorfunctional-coefficientmodels)，Y=β_0(X)+β_1(X)Z_1+…+β_p(X)Z_p+ε，其中{β_i(·)，0≤i≤p}

4、是一些未知函数；Y是回归变量；X是q维协变量，Z=(Z_1，…，Z_p)~T是p维协变量，ε是期望为0的随机误差。它们提出的变系数模型是一个很一般的模型。由于“维数祸根”问题，在q＞1时，这个模型在处理实际问题时不太可行。为此人们往往取q=1，即常数项函数β_0(·)、系数函数β_j(·)(j=1，…，p)均为一元函数，且这些一元函数有相同的自变量。本论文与此不同华东师范大学博士学位论文归00刃给出了常数项函数和系数函数具有不同自变量的变系数模型:Y一。(x)+艺岛(u)几少=l常假其中Y〔R是响应变量，X〔几，数项函数抓·)和系数函数几(.)(，=U任R，Z一+〔，(21，·，吞)

5、T〔卿是协变量;1，…，p)都是从R到R的未知可测函数.设一独立于/。为了识别模”:不妨假设/脚二z，)一我们称这个模型为函数系数部分线性模型(funetional一eoeffieientpartiallinearmodels)·函数系数部分线性模型是一个比较一般的模型。若对所有的夕=1，…，p，马(.)=几，场是常数，它就是部分线性模型.当叭·)=。时，它就是Cai，Fan和Ya。(2000)提出的变系数回归模型.当对所有的j二1，…，p，巧(.)=0时，它变成了非参数模型.在这个函数系数部分线性模型中，或·)和{巧(·)，1三夕三对有着不同的自变量，这给它们的估计增加了难度.我们

6、首先对常数项函数叭·)使用局部线性估计方法，给出了它的估计;然后对系数函数肠(.)(，=l，…，p)，通过应用常数项函数的估计，使用局部线性估计方法给出其估计.我们称系数函数的这种估计方法为两阶段估计方法.在数据是独立同分布的情况下，与数据是a一混合相依的情况下，给出了常数项函数0(.)的估计的弱一致性、一致强相合性和渐近正态性，以及系数函数巧(.)(j二l，…，p)的估计的弱一致性与渐近正态性.模拟研究显示，这些估计方法是较为理想的。本论文的第三章讨论比例函数系数线性模型。为克服维数祸根问题，本论文的第三章给出了所有系数函数是同一个函数，但具有不同的自变量的变系数模型:}Y=。(X

7、，饥(x，Z)=Z)+a(X，Z)〔d艺Ca(甲)夕(Xa)Za，其中Y是相应变量;x二(X，，…，Xd)T和z=(21，…，几)T是两个解释变量，x可能依赖于z，也可能不依赖于z;〔独立于x和z，且E(〔)=0，V盯间二1;o(·，·)是从RZd到R的一个可测函数;0(.)是从R到R的一个可测函数;仇(的，。=1，…，d是参数为7的已知函数，守=(7，，…，下)T可能已知也可能未知。为识别模型，不妨假设C，(7)三1。我们称这个模型为比例函数系数线性模型