变系数部分线性模型的局部m-估计

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1、声明尸明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：辎一日期：—墨型＆厶L—一关于学位论文使用权的说明本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包括：①学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；②学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；③学棱可允许学位论文被

2、查阅或借阅；④学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；⑤学校可以公布学位论文的全部或部分内容(保密学位论文在解密后遵守此规定)。签名：：主叠日期：签名：：翌蜇日期：导师签名：如讳●日期：伽莎‘．‘太原理J：人学硕十研究生学位论文第一章绪论1．1变系数模型及国内外的研究现状回归分析是数理统计的重要分支之一，它在实际中得到了广泛的应用．一般来说，统计模型只是客观情况的一个近似，一个好的模型能够比较好地解释数据和预测未来．如何建立一个更加接近现实的模型，一直是统计工作者不断追求的目标．在现代统计中，我们常常面临的是高维数据

3、，因此对高维数据回归分析的研究是一个重要的问题．理论上讲，一元非参数回归函数的估计方法可以直接推广到多元非参数回归．但实际上，对于高维的非参数回归，运用一元非参数的估计方法的估计效果是非常差的．这是因为非参数函数估计方法本质上讲都是局部估计或局部光滑，要想比较充分的估计f(x)在x点的值，就必须使得x的邻域包含有足够多的数据．但当X为高维数据时，这个条件存实际中很难满足，而且由于维数的增加，／(x)的估计值收敛到／(x)的速度缓慢，估计极不稳定，人们称这种现象为“维数祸根”(CurseofDimensionality)．为了

4、克服“维数祸根”，许多统计学工作者都在努力探索】，与高维变量x之间的回归关系，其最终目标就是寻找结构简单、易于估计和容易解释的回归模型，总的来说可以把这些工作分为两大类：一类称为函数近似，如单指标模型，可加模型，部分线性模型，变系数模型；另一类为降维，如SIR回归，图回归，PHD分析等．本文主要研究的是变系数模型．1993年，Hastie和Tibshiranitll提出了变系数模型：y=夕。Cr，)Z，+⋯+∥芦伍P)Zp+占(1．1．1)其中系数函数历(．)(，=1，．．．，p)是一些未知的函数；】，是响应变量，x=伍．，

5、．．．，xp户∈尺，和太原理f：人学硕十研究生学位论文Z=(Z

6、，．．．，z。y∈Rp是p维协变量，s是随机误差，且Ep)=0，D(0=盯：．相对于一般的多元非参数回归，变系数模型对回归函数的结构提出了一些限制．可是，尽管变系数模型看起来比较具体，实际上许多模型，如一般的线性回归模型，非参数回归，部分线性模型，可加模型等都可以看作是变系数模型的特殊形式，这一模型仍然是一个很一般的模型．在实践应用中的可行性较差．为了能够在实践中应用它，人们根据不同情况对其作了处理，主要方法是取系数函数厥·)(，=1，．．．，p)为一元函数，且

7、在模型中这些函数取相同的自变量．例如，Fan和Zhang[2】提出了以下模型y：兰夕，妙)Z，+s(1．1．2)』=1其中y∈尺是响应变量，U∈R，z=(Z，，．．．，Z，尸∈Rp是p维协变量，￡是随机误差，且E0)=0，DG)=仃2，占与z，【，相互独立，系数函数以·)(，=1，．．．，p)是R--，R的未知可洳函数．Fan和Zhang[21使用局部多项式方法和两步法估计了以·)(，_l，．．．，p)，并在样本独立同分布的条件下，给出了估计的渐近结论．Cai，Fan和Yao【31对同一模型使用局部线性方法进行了估计，且在样

8、本是口一混合相依的条件下给出了估计的弱一致性和渐近正态性．Xia和Lit4】讨论了单指标变系数回归模型，】，=∥o(geo，z))+∥。(g(Oo，z)沙。+⋯+∥，G0名，z))x，+F其中∥』(f)(，=o，．．．，p)是一元可测未知函数，g(80，z)是含有参数岛∈R‘的尺“4一R的已知函数，Z∈Rq和x=伍．，．．．，Xp)，∈Rp是回归变量，占是期望为0的随机误差．他们用核方法估计了以·)(户1，．．。，力，并给出这些估计的弱一致性和渐近正态性．同年，他们‘51又用局部多项式方法估计了厚(·)(『=1，．．．，p)

9、，并给出这些估计的弱一致性和渐近正态性．Fan和Zhang[6]2000年把变系数模型应用到Longitudinal数据的分析，提出了以下模9太原理．I：人学硕十研究生!学位论文型：yO)=届Q沙，O)+⋯+∥p(OxP0)+￡O)其中夕，O)，歹=1，．．．，P，是一元可测未知函数，x必