第24题拓展试题

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1、24.（1）如图，抛物线y=x+ax+b与x轴交于A、B两点，对称轴为直线x=1，且点A的坐标为A（-1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）点Q是抛物线上一点，若点Q到y轴的距离等于AB的长，求点Q的坐标；（3）若点Q在抛物线对称轴的右侧，点P为y轴上一点，以点P、A、B、Q为顶点作□ABQP,将□ABQP绕点A旋转180°，得平行四边形AB＇Q＇P＇.那么经过点Q＇、P＇、A三点的抛物线是否可由（1）的抛物线平移而得到?若行，请确定平移关系；若不行，请说明理由.第24（1）题图解:（1）∵抛物线y=x+ax+b的对称轴为直线x=1，点A的

2、坐标为A（-1，0），∴点B的坐标为B（3，0）,∴抛物线的解析式为:y=(x+1)(x-3)=x-2x-3；（2）∵AB=4,则点Q到y轴的距离为4，∴点Q的横坐标为4或-4.当x=4时，y=4-2×4-3=5，即点Q的坐标为Q（4，5）;当x=-4时，y=（-4）-2×（-4）-3=21,即点Q的坐标为Q（-4，21）,综上所述，满足题意的点Q有两点:Q（4，5）,Q（-4，21）;（3）∵点Q在对称轴的右侧，则点Q（4,5），则点P（0,5），∵点Q（4，5）和点Q＇关于点A（-1，0）中心对称,∴点Q＇（x,y）的坐标满足:x+4=

3、2×（-1）,y+5=2×0，x=-6,y=-5,∴Q＇（-6,-5）,同理可得P＇（-2，-5）,设经过三点A、Q＇、P＇的抛物线的解析式为:y=ax+bx+c,由题意得:,解之得:a=1,b=8,c=7.∴此抛物线的解析式为:y=x+8x+7.∵抛物线y=x-2x-3=（x-1）2-4与抛物线y=x+8x+7=(x+4)2-9二次项相同，则它们的形状相同，∴将抛物线y=x-2x-3向左平移5个单位，再向下平移5个单位便可得到抛物线y=x+8x+7.(2)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、B（1，3）、C（2，2)与x轴交于另一

4、点N.（1）求抛物线的表达式；（2）若点P为抛物线上一点，当△PON的面积最大时,求点P的坐标；（3）连接BC，若点A为BC所在直线与y轴的交点，是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON的面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.第24（2）题图解：（1）将B，C，O三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c，可得，解得，∴所求的抛物线为y=-2x2+5x；（2）∵ON的长是定值，∴当点P为抛物线的顶点时，△PON的面积最大，由得，则该抛物线的顶点坐标为.则点P的坐标为.（3）存在,设BC所在直线的表达式为y=kx+b，

5、将点B、C的坐标代入可得k=-1,b=4，则y=-x+4.把x=0代入y=-x+4得y=4，∴点A（0，4），把y=0代入得x=0或，∴点N()，设点P的坐标为（x,y）由，即解得x=0（舍去）或x=1，当x=1时，y=3，∴存在点P，其坐标为（1，3）.