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1、第二十三章旋转23.1图形的旋转专题一利用旋转的概念和性质求角的度数以及点的坐标及直线解析式1.Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠B=50°,点D在边BC上,BD=2CD(如图).把△ABC绕着点D逆时针旋转m(0＜m＜180)度后,如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上,那么m=.2.平行四边形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示,∠AOB=60°,AO=1,AC=2,把平行四边形AOBC绕点O逆时针旋转,使点A落在y轴上,则旋转后点C的对应点C′的坐标为 .专题二利用旋转的概念和性质确定旋转中心、以及
2、作旋转图形3.如图,四边形EFGH是由四边形ABCD经过旋转得到的.如果用有序数对(2,1)表示方格纸上A点的位置,用(1,2)表示B点的位置,那么四边形ABCD旋转得到四边形EFGH时的旋转中心用有序数对表示是__________.4.如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,坐标为(a,b),直线的解析式为y=2x-4.(1)画出点P以点O为旋转中心逆时针旋转90°后的对应点P′;(2)猜想点P′的坐标,并证明你的结论;(3)求出直线绕点O逆时针旋转90°后的直线′的解析式.专题三利用旋转的概念和性质判定三角
3、形形状、线段之间位置与数量关系5.如图,在□ABCD中,过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF.当P为射线CD上任意一点(P不与C重合)时,连接EP;绕点E逆时针旋转90°得到线段EG.判断直线FG与直线CD的位置关系,并加以证明.6.已知:如图1,O为正方形ABCD的中心,分别延长OA到点F,OD到点E,使OF＝2OA,OE＝2OD,连接EF,将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△(如图2).(1)探究AE′与BF′的数量关系,并给予证明;(2)当α＝30°时,求证:△AOE
4、′为直角三角形.7.(1)如图①,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求∠EAF的度数.(2)如图②,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点,且∠MAN=45°,将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置,连接NH,试判断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由.(3)在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若EG=4,GF=6,BM=3,求AG,MN的长.知识要点:1.旋转的定义:把一个图形绕着某一点O转动一个
5、角度的图形变换叫做旋转.2.旋转的三个要素:旋转中心、旋转角、旋转方向.3.旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等;(2)对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角;(3)旋转前、后的图形全等.温馨提示:1.旋转可以得到相等的角、边,所以为证明三角形全等提供了有力的条件.2.旋转可以将分散的边角集中于一点或集中于同一个三角形.同理,旋转也可以将集中的条件分散.方法技巧:1.确定旋转中心的方法:两组对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心.2.旋转出等腰三角形;旋转90°出等腰直角三角形;旋转60°出等边三角形
6、.3.图形绕原点旋转90°前后对应点的坐标之间的关系:横变纵,纵变横,符号看象限.即:P(a,b)绕原点顺时针旋转90°P(b,－a);P(a,b)绕原点逆时针旋转90°P(－b,a).参考答案1.80°或120°【解析】(1)如图,点B恰好落在边AB上的点B′时,有DB=DB′.∴旋转角m=∠BDB′=180°－∠DB′B－∠B=180°－2∠B=80°;(2)如图,点B恰好落在边AC上的点B″时,有DB=DB″.在Rt△B″CD中,∵DB″=DB=2CD,∴∠CDB″=60°,旋转角∠BDB″=180°-∠C
7、DB″=120°.2.(,2),(-,-2)【解析】如图:∵∠AOB=60°,把平行四边形AOBC绕点0逆时针旋转,使点A落在y轴上,∴∠A′EC′=90°.∵∠A′C′B=60°,∴∠A′C′E=30°.∵A′E=1,A′C′=2,∴EC′=,A′E=1,∴C′(,2).同理可得点C″(-,-2).3.(5,2)【解析】连接CG,作其垂直平分线;连接EA,作其垂直平分线;两垂直平分线的交点就是旋转中心.4.【解】(1)如图所示;(2)P′(－b,a).证明:过P点分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为A、B,过P′
8、点分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为B′、A′.∵∠POP′=90°,∴∠AOP=∠A′OP′.又∵OP=OP′,∴Rt△AOP≌Rt△A′OP′.∴OA=OA′,AP=A′P′.∴OA′=OA=a,OB′=P′A′=PA=OB=b.∵P′在第二象限,∴P′的坐标为(－b,a);(3)由图象知直线与x轴交点为M(2,0),与y轴交点为N(0,－4).由(2)得:点M(2,
