2018.05.28 方法精讲-数量4 牟立志 （笔记）

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1、方法精讲-数量4主讲教师：牟立志授课时间：2018.05.28粉笔公考·官方微信方法精讲-数量4（笔记）第八节容斥原理【注意】今天是数量关系最后一节课程，讲容斥问题和高频的几何问题，数量关系在考试中很有用，最后一天与之前的课程没有什么大的关联，保持初心，掌握知识点，会做题即可。课前测验1.（2016江苏）某班有40名学生，一次数学测验共有两道题，答对第一题的有27人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人，则两题都答错的人数是（）。A.3B.5C.6D.7【解析】1.正确率还不错，上课认真听讲解过程，本道题目不难。2.（2017联考）某单位准备扩建一矩形花圃，若将矩形花圃的

2、长和宽各增加4米，则新矩形花圃的面积比原来的面积增加了40平方米。那么，原矩形花圃的周长是多少？（）A.12米B.24米C.32米D.40米【解析】2.几何问题，正确率为83%，学完以后，这种几何题目是必须要拿分的，做错的同学需要自己反思一下。【知识点】容斥问题：集合与集合之间相互包容、排斥的过程，最终的目的是把重复的去掉，把遗漏的补回来（去重补漏）。1.题型：（1）两集合；（2）三集合；（3）容斥+最值（近两年考的比较多）。2.方法：（1）公式法；（2）画图法。13.公式：（1）两集合公式：①例子：假设咱班同学为一个大整体，有两个集合A和B，集合A代表喜欢志哥的同学，有10人

3、，集合B代表喜欢高照老师的同学，有100人，既喜欢志哥又喜欢高照的有1人，其余白色空白部分代表有100人喜欢唐宋老师。中间有1人重复，总数=10+100+100-1=209。②公式：全部=A+B-A∩B+都不。（2）三集合标准型公式：①满足的条件：给出A∩B、B∩C、A∩C这样的条件（分别给出两两集合的交集）。如图，需要求总体，其中A∩B加了两次，只要一次，因此需要减掉一次，同理B∩C、A∩C也需要减掉一次。中间部分A∩B∩C，在A+B+C时分别加了一次，共加了三次，在减去A∩B、B∩C、A∩C时减掉了三次，因此需要再加一次。②公式：全部=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A

4、∩B∩C+都不。（3）三集合非标准型公式：①出现满足两种、满足三种的表述。2如上图，出现两层的部分，涂成蓝色的部分属于满足两种的部分，满足两种表示的是只满足两种的。满足三种表示的是A∩B∩C，此时利用非标准公式来做题。满足两种一共加了两次，减去一次，满足三种的在A+B+C时分别加了一次，需要减去两次。②公式：全部=A+B+C-满足两种-2*A∩B∩C（三者都满足）+都不。4.总结：（1）两集合公式：全部=A+B-A∩B+都不。（2）三集合公式：①标准：给出A∩B、B∩C、A∩C这样的表述（出现两两集合的交集），公式：全部=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C+都不。②

5、非标准：出现满足两种，满足三种这样的表述，公式：全部=A+B+C-满足两种-2*A∩B∩C（三者都满足）+都不。例1（2016江苏）某班有40名学生，一次数学测验共有两道题，答对第一题的有27人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人，则两题都答错的人数是（）。A.3B.5C.6D.73【解析】例1.有包容重复的，两道题目，两集合问题。两集合容斥问题公式：全部=A+B-A∩B+都不满足，设两题都答错的为x人，代入数据，40=27+23-15+x，利用尾数计算，尾数为0=5+？，因此两题都错的人数尾数为5。【选B】【知识点】容斥问题的方法选择：1.公式法：题目中所给所求都是公

6、式中的一部分，用公式。2.画图法：题目中所给所求公式里面没有，公式法用不了，用画图法。3.三步走：（1）第一步：画图。（2）第二步：标数字，从里往外标，保证每部分都是一层。（3）第三步：列式计算，尾数法。例2（2014国考）工厂组织职工参加周末公益活动，有80%的职工报名参加，报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2：1，两天的活动都报名参加的为只报名参加周日活动的人数的50%，问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的（）。A.20%B.30%C.40%D.50%【解析】例2.有相互交叉重叠的部分，容斥问题，分成周六和周日，两集合容斥问题，出现只报名参加周

7、六的人数，不能用公式法。采用画图法，三步走：（1）第一步：画图；如图所示。（2）第二步：标数字，从里往外标，从交集开始标数字，题目未给出数值，赋值。假设两天都参加人数为1人，则只参加周日活动为2人，那么周日参加总人数为2+1=3人，已知报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2：1，则周六参加人数为3*2=6人，只参加周六活动为6-1=5人。4（3）第三步：列式计算，报名参加活动的总人数为5+1+2=8人。80%的职工报名参加活动，总人数=8/80%=10人，则未报名参加活动的有1