函数与不等式专题

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1、专题六：函数与不等式第八课时：函数与不等式综合问题1、已知二次函数，设方程的两个实数根为和.（1）如果，设函数的对称轴为，求证：；（2）如果，，求的取值范围.2、已知二次函数满足，且。（1）求的解析式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设，,求的最大值。3、已知是定义在上的奇函数，且，若，，有恒成立。（1）判断在上是增函数还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式；若对所有，恒成立，求实数的取值范围。4、若函数对任意，都有成立，则称为上的“收缩函数”。（1）判断在上是否为“收缩函数”，并说明理由；（2）是否存在，使在为“收缩函数”，若存在，求的取值范围，若不存在，试说明理由

2、；（3）若，，且为“收缩函数”，问能否成立？函数与不等式综合问题参考答案1、解：设，则的二根为和.（1）由及，可得，即，即两式相加得，所以，;（2）由,可得.又，所以同号.∴，等价于或,即或解之得或.2、解：（1）设，代入和，并化简得，。（2）当时，不等式恒成立即不等式恒成立，令，则，当时，，。（3）对称轴是。当时，即时，；当时，即时，综上所述：。3、解：（1）设，且。由于，，有；又是奇函数，故，推得，也即。所以在上是增函数；（2）利用在上是增函数，要研究的不等式转化为，另外须满足限制条件以及。不等式可表示为，即上式左端三个因子的零点按从小到大顺序为，由这三个点划分出四个区间：，三因子在四

3、个区间中的正负号情况分别为“---”，“+--”，“++-”和“+++”，故满足不等式的；又第一个限制条件相当于，此时，第二个限制条件只要考虑左半部分，即，所以，合并两限制条件相当于，综合和得到；（3）利用在上是增函数，对所有恒成立等价于，注意到问题转化为对所有恒成立。；或所有恒成立，；或所有恒成立，；综上，4、解析：（1）（2）对于，所以当时，为“收缩函数”；（3）若，由“收缩函数”条件，；若，不妨设，利用以及“收缩函数”的条件。故结论成立。