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1、函数导数与不等式专题一．利用切线与导数之间的联系解决不等式有关问题1．（2013年高考四川）已知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.(1)指出函数的单调区间;(2)若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,证明:;(3)若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.2．（2014届江西省新余）已知函数，．（1）若曲线与在公共点处有相同的切线，求实数、的值；（2）当时，若曲线与在公共点处有相同的切线，求证：点唯一；（3）若，，且曲线与总存在公切线，求正实数的最小值．二．利用函数的单调性、极值与导数的联系解决有关不等式问题3．（2014届云南省
2、师大附中）已知函数，．（1）若对于定义域内的恒成立，求实数的取值范围；（2）设有两个极值点，且，求证：；4.（2014届湖北省部分重点中学）已知函数在上有两个极值点，且（1）求实数的取值范围；（2）证明：．三、灵活应用导数解决函数与不等式的有关综合问题5．（2014届浙江省杭州市）设函数，；（1）求证：函数在上单调递增；（2）设，，若直线轴，求两点间的最短距离.6.（2014届江西省师大附中）设．(1)若对一切恒成立，求的最大值．（2）设，且是曲线上任意两点，若对任意的，直线AB的斜率恒大于常数，求的取值范围；（3）求证：．课后强化训练1.（20
3、14届河北省邯郸市）设函数(1)当时，求的单调区间；（2）若当时，恒成立，求的取值范围.2、（2014届湖北省黄冈中学）已知函数，为常数．（1）若，且，求函数的单调区间；（2）若，且对任意，，都有，求的取值范围．函数导数与不等式专题参考答案1解:(1)函数的单调减区间为,单调增区间为,(2)由导数的几何意义知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,故当点处的切线互相垂直时,有,当x<0时,因为,所以,所以,,因此,(当且仅当,即且时等号成立)所以函数的图象在点处的切线互相垂直时有.(Ⅲ)当或时,,故.当时,的图象在点处的切线方程为即.当时,的图
4、象在点处的切线方程为即.两切线重合的充要条件是,由①及知,,由①、②得,令,则,且设,则所以为减函数,则,所以,而当且t趋向于0时,无限增大,所以的取值范围是.故当函数的图象在点处的切线重合时,的取值范围是.2解：（1），．∵曲线与在公共点处有相同的切线∴ ， 解得，．…………………3分（2）设，则由题设有…①又在点有共同的切线代入①得……5分设，则，∴在上单调递增，所以＝0最多只有个实根，从而，结合（Ⅰ）可知，满足题设的点只能是……………7分（3）当，时，，，曲线在点处的切线方程为，即．由，得．∵曲线与总存在公切线，∴关于的方程，即总有解．……
5、…9分若，则，而，显然不成立，所以…10分从而，方程可化为．令，则．∴当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增．∴在的最小值为，所以，要使方程有解，只须，即．…………………………13分3解：（1），，…（2分）当时，，当时，．…………………………………………（5分）（2），…（9分）…………………………（13分）4.（1），由题意知方程在上有两不等实根，设，其图象的对称轴为直线，故有，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）（构造利用图象解照样给分）（2）由题意知是方程的大根，从而且有，即，这样设，=0，解得，由，；
6、，；，知，在单调递增，又，从而，即成立。．．．．．．．．．．．．．（13分）（2）另解：由题意知是方程的大根，从而，由于，，，设，，h(x)在递增，，即成立。．．．．．．．．．．．．．．．（13分）5.（1）时，，所以函数在上单调递增；-------------------------6分（2）因为，所以-------------------8分所以两点间的距离等于，------9分设，则，记，则，所以，------------------------------------12分所以在上单调递增，所以------------14分所以，即两点间
7、的最短距离等于3.---------------15分6解：（1）∵，∴，∵，的解为，∴，∵对一切x∈R恒成立，∴，∴，∴．（2）设是任意的两实数，且，故∴不妨令函数，则在上单调递增，∴恒成立∴对任意的，恒成立=，故（3）由（1）知ex≥x+1，取x=，得1-，即，累加得：∴故存在正整数a=2．使得课后强化训练1.解：（1）当时，，……………………………2分令得；令得所以的单增区间为，；单减区间为…………5分（2），令，，……………………………7分当时，，在上为增函数，而，从而当时，恒成立.………………………9分当时，令，得.当时，，在上是减函数
8、，而，从而当时，，即综上，的取值范围是……………………12分2.解：（1），------------------2分∵，令，得，或，--
