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1、专题七函数、导数与不等式一．在解题中常用的有关结论1.若可导函数在处取得极值，则。反之，不成立。2.函数在区间I上递增（减）的充要条件是：恒成立且不恒为0.3.函数（非常量函数）在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非偶重根。4.在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立5.定义域为闭区间I,若恒成立，则;若恒成立，则6.若，使得，则；若，使得，则.7.若对、，恒成立，则.若对，，使得,则.若对，，使得，则.若对，，使得,则.若对，使得则8.若三次函数f(x)有三个
2、零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0.9.证题中常用的不等式:①②9二．选择题1、已知函数，则该函数是（）A．偶函数单调递增B．偶函数单调递减C．奇函数单调递增D．奇函数单调递减2、若，，，则（）A．B．C．D．3．已知e是自然对数的底数,函数e的零点为,函数的零点为,则下列不等式中成立的是（ ）A．B．C．D．4．设函数的定义域为R,是的极大值点,以下结论正确的是（）A．B．是的极小值点C．是的极小值点D．是的极小值点5、已知函数则对于任意实数,则的值为（）A．恒正B.恒等于C．恒负D.不确定6．设函数（
3、 ）A．有极大值,无极小值B．有极小值,无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值三．填空题7、函数的定义域为8、设函数，若，则实数9、曲线的切线中,斜率最小的切线方程为___________10．已知函数,则___________四．解答题911.设函数．(Ⅰ)当时，求曲线在处的切线方程；(Ⅱ)当时，求函数的极小值；(Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下，设函数，若对于，，使成立，求实数的取值范围.12.已知函数．（Ⅰ）若函数在上不是单调函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，讨论函数的零点个数．13.设，函数．（1）若，判断在区
4、间上的单调性（不必证明），求出最大值；（2）若，写出函数的单调区间（不必证明）；（3）若存在，使得关于的方程有三个不同实数解，求实数的范围．14.已知函数（Ⅰ）求函数f(x)的定义域（Ⅱ）求函数f(x)单调区间（Ⅲ）若x>0时恒成立，求正整数k的最大值.15.若函数对任意的实数，，均有，则称函数是区间上的“平缓函数”.(1)判断和是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；(2)若数列对所有的正整数都有，设,求证：.16．已知函数.(1)是否存在点,使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上?若存在,求出点M的
5、坐标;若不存在,请说明理由;(2)定义,其中,求;9(3)在(2)的条件下,令,若不等式对且恒成立,求实数的取值范围.专题七函数、导数与不等式参考答案一．选择题：CCADAD二．填空题：，，，三．解答题11.解：函数的定义域为，(Ⅰ)当时，，∴在处的切线方程为(Ⅱ)所以当，或时，，当时，故当时，函数的单调递增区间为；单调递减区间为所以时有极小值(Ⅲ)当时，由(Ⅱ)知函数在区间上为增函数，所以函数在上的最小值为若对于使成立在上的最小值不大于在[1，2]上的最小值（*）又①当时，在上为增函数，与（*）矛盾②当时，，由及得，③当时，在
6、上为减函数，，此时综上所述，的取值范围是912.解：（Ⅰ），由题意知方程有两个不同的实数解，，解得．因此，实数的取值范围是．（Ⅱ），．设，，因为，所以，故在上是增函数，又，，因此在内存在唯一的实数，使得，因为在上市增函数，所以在内存在唯一的实数，使得．单调减极小值单调增与随的变化情况如下表：由上表可知，当时，，又，所以函数在内只有一个零点．Oayx13.（1）当，时，可知函数在区间上是增函数，最大值为．（2）……（1分）①当时，，因为，所以，所以在上单调递增．②当时，，因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减．函数的单调递增区
7、间是和，单调递减区间是．（3）①当时，，，所以在上是增函数，关于的方程不可能有三个不相等的实数解．9②当时，由（2）知在和上分别是增函数，在上是减函数，当且仅当时，方程有三个不相等的实数解．即．令，在时是增函数，故．．14.解：（1）定义域（2）单调递减。当，令，所以在（－1，0）上是减函数，即，所以<0,所以只有单调减区间为。（3）当x>0时，恒成立，令，又k为正整数，∴k的最大值不大于3，下面证明当k=3时，恒成立当x>0时恒成立令，则，，当∴当取得最小值当x>0时，恒成立，因此正整数k的最大值为315.解：是R上的“平缓函
8、数”，但不是区间R的“平缓函数”；设，则,则是实数集R上的增函数，不妨设，则，即，则.①……………1分又也是R上的增函数，则，9即，②……………2分由①、②得.因此,，对都成立.……………3分当时，同理有成立又当时，不等式，故对任意的实数，R,均有.因此是R上的
