专题1 函数、导数与不等式

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1、-专题1函数、导数与不等式一、考情报告年份题型小题大题2007年第2题，集合，解不等式；第11题，考查反函数的概念；第15题，函数的应用.第20题：导数的几何意义，利用导数求最值和证明函数不等式，考查综合运用数学知识解决问题的能力.2008年第4题，考查函数的定义域；第7题，导数，函数的单调性；第13题，函数的概念.第20题：导数在实际问题中的应用，解不等式，利用导数求最值.2009年第2题，反函数的概念；第11题，解不等式；第14题，函数、导数.第21题：极值、切线、最值，考查函数方程思想（恒成立问题）.2010年第10题，充要条件；第15

2、题，几何平均数、调和平均数的几何意义.第22题：导数的应用，考查切线、恒成立问题，证明数列不等式.2011年第6题，函数的奇偶性、解析式；第10题，函数的应用.第22题：利用导数求最值，证明不等式.2012年第2题，考查二次函数和定积分求面积；第9题，考查函数的零点问题。第22题：利用导数求最值，利用数学归纳法证明不等式.二、高考回放【2007年第20题（理科），13分】已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综

3、合运用数学知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．，，由题意，．即由得：，或（舍去）．即有．令，则．于是当，即时，；当--}，即时，．故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为．（Ⅱ）设，则．故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是．故当时，有，即当时，．【2008年第20题（理科），12分】水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ

4、）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题的能力。解：（Ⅰ）①当时，，化简得,解得，或，又，故.②当时，，化简得,解得，又,故.综合得,或；故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月.(Ⅱ)由(Ⅰ)知：的最大值只能在（4，10）内达到.由令，解得(舍去).当变化时，与的变化情况如下表：(4,8)8(8,10)+0-极大值由上表，在t＝8时取得最大值(亿立方米).故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米--【2009年第2】当

5、时，对称轴

6、位于区间内，∴}

7、

8、}在上恒成立．②当时，，那么时，时，知此时，由题意应有．以下证明在时无解，记，，因为，则，则，则在时为增函数，那么，说明总有，即，那么不等式在时无解．由①②的讨论知在上恒成立，的取值范围是．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上成立，则在上成立，因为，则，则，分别取，则，，，…，，以上个式子相加，则，--则，所以．【2011年第21题（理科），14分】（Ⅰ）已知函数，，求函数的最大值；（Ⅱ）设…，均为正数，证明：（1）若……，则；（2）若…=1，则本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的

9、能力，以及化归与转化的思想.解：（I）的定义域为，令当在（0，1）内是增函数；当时，内是减函数；故函数处取得最大值（II）（1）由（I）知，当时，有，从而有，得，求和得即（2）①先证令则于是由（1）得，即②再证记，则，--于是由（1）得即综合①②，（2）得证。【2012年第22题（理科）,14分】（I）已知函数，其中为有理数，且.求的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明

10、你所推广的命题。注：当α为正有理数时，有求导公式.--三、专案突破（小四号字）（一）知识网络（五号字）--（二）核心知识四、经典例题（小四号字）热点一：函数的概念与性质【例题1】已知函数.（1）若，作函数的图象；（2）设在区间上的最小值为，求的表达式；（3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.解：（1）时，，其图像如图所示（略）（2）时，当，对称轴，在区间上单调递减，∴当，，在区间上单调递减，∴当，对称轴，若，即时，若，即时，若，即时，--综上所述，（3）时，由题意，在区间上恒成立，令当，只要，即即可，当，满足题意，当，只要，即即可

11、.综上所述，【注意】本题是一道函数的综合问题，涉及函数的图象、函数的最值、恒成立问题，注意恒成立问题的转化策略．本题更体现了分类讨论思想、函数方程思想、化归思想等基