2、()III⎨ux(,0)0,=⎪2⎪ux(,0)0,=⎩2t定解问题解u为：uuu=+.12齐次化原理本小节先考虑如何求解非齐次的自由振动问题：22⎧∂u2∂u⎪⎪2=a2+f(x,t)(t>0,−∞at()τ,22⎨∂∂tx(3)⎪ω(,;)0xxττ==ω(,
3、;)ττf(,),xτ⎩，t的解(其中τ为参数),则t(4)u(x,t)=∫ω(x,t;τ)dτ0就是定解问题(2)的解.利用含参变量积分的求导公式：⎛⎞ββ()xx′()⎜⎟∫∫f(,)xydyf=+−′(,)xydyf(,)()xyβα′′xf(,)().xyx⎜⎟⎝⎠αα()xx()所以由ω(,;)0xtt=，tt′⎛⎞uxt(,)==⎜⎟ωττωττω(,;)xtd(,;)xtd+(,;)xtttt∫∫⎝⎠00t=ωτ(,;)xtdτ∫t0tt′⎛⎞uxt(,)==⎜⎟ωτ(,;)xtdτωτ(,;
4、)xtdτ+ω(,;)xtttt∫∫tttt⎝⎠00t2=+axωτ(,;)tdfτ(,)xt∫xx02=+auxt(,)fxt(,)xx0ux(,0)==∫ωττ(,;)xtd0，0t⎛⎞ux(,0)=+⎜⎟ωτ(,;)xtdτω(,;)xtt=0.tt∫⎝⎠0t=0则tu(x,t)=∫ω(x,t;τ)dτ0就是定解问题(2)的解.令t′=t−τ并记ω(x,t′;τ)=ω(x,t′+τ;τ)则定解问题(3)可化为以下的形式：22⎧∂ω2∂ω⎪=a(t′>0)，⎨22∂t∂x⎪ω(x,0;τ)=0，ω(x,
5、0;τ)=f(x,τ).⎩t由达朗贝尔公式知其解为1x+at′ω(x,t′;τ)=∫f(ξ,τ)dξ2ax−at′换回原变量,则得1x+a(t−τ)ω(x,t;τ)=∫f(ξ,τ)dξ2ax−a(t−τ)再代入(4)式就得到定解问题(2)的解为(,)1tx+a(t−τ)uxt=∫∫f(ξ,τ)dξdτ2a0x−a(t−τ)22⎧∂u2∂u⎪=a，⎨22∂t∂x⎪u(x,0)=ϕ(x)，u(x,0)=ψ(x)⎩t上面定解问题的解（达朗贝尔公式）：11xat+uxt(,)=−((ϕxat)+ϕψ(xat+))+
6、∫().ξdξ22axat−所以由达朗贝尔公式和齐次化原理可得定解问题(1)的解为非齐次波动方程的求解11xat+uxt(,)=−((ϕxat)+ϕψ(xat+))+∫()ξdξ22axat−t1xat+−()τ+∫∫fd(,)ξτξτd.2axat−−()τ012举例：求解下列初值问题22⎧∂∂uu⎪−=2(xt>−0,∞<7、αd22xt−t1xt+−()τ2++∫∫2=ξξτddsinxtxtxtcos+.2xt−−()τ013第2节一维波动方程的达朗贝尔解法(行波法)一、一维波动方程的达朗贝尔解：考虑无界弦的自由振动问题：22⎧∂∂uu2⎪=−ax,,∞<<+∞t>0(2.1)22⎪∂∂tx⎨ux(,0)=ϕ(),x⎪−∞8、标准形式：2∂u=0∂ξ∂η15∂⎛∂u⎞⎜⎟=0⎜⎟∂η⎝∂ξ⎠∂u=f(ξ)将方程先对积分一次可得，η∂ξ再对积分一次可得，ξufdGFG=+∫()ξξηξη()=()+().回到原来的变量x及t，立即得到泛定方程的解的一般形式，即其通解为uxt(,)=FxatGxat(−++)()其中F及G为任意的单变量的二阶连续可微函数。由上式可见，自由弦振动方程的解可以表示为形如F(x-at)与G(x+at)的两个函数
