1.伯努利方程的解法

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1、朗读显示对应的拉丁字符的拼音目　录中文摘要IABSTRACTII引言11.伯努利方程的解法11.1变量代换法11.1.1一般解法11.1.2函数变换法21.1.3求导法21.1.4恰当导数法31.2常数变易法41.3积分因子法51.4解法举例52.伯努利方程的应用102.1在一阶微分方程中的应用102.1.1在形如（存在且不为零）方程中的应用102.1.2在形如方程中的应用112.1.3在黎卡提方程中的应用113．总结18参考文献19致谢20引言在数学科学体系中，微分方程是其中的一类，而伯努利方程又是微分方程中的一个类型，这类方程形如，其中

2、、为的连续函数，为常数且0，1。伯努利方程是一种特殊的一阶非线性常微分方程，一般地，该方程可以通过某些数学方法转化为线性微分方程，进而用初等积分法来求解。在数学发展史上，常有一种问题多种解决办法的传统，因此，许多学者都致力于研究伯努利方程的求解。本文在充分分析这些参考文献的基础上，根据其解法特征，将它们进行了分类整理，便于对各种解法的理解和认识。同时，探讨了伯努利方程在求解其他类型常微分方程中的应用。本文主要分成两个部分，结构如下：第一部分是伯努利方程的解法，主要给出了伯努利方程的变量代换法、常数变易法、积分因子法等三种方法；第二部分是伯努

3、利方程的应用，主要探讨了伯努利方程在一阶微分方程和高阶微分方程的求解中的应用。1.伯努利方程的解法1.1变量代换法1.1.1、变量代换法、常数变易法的混合运用伯努利方程：（0，1）………（1.0）其一般解法步骤如下：⑴方程两端同除以得：.⑵变量代换令即可化为一阶线性微分方程：．⑶常数变易通过对一阶线性齐次方程的通解进行常数变易求得一阶线性非齐次方程的通解．⑷变量代换最后将z代换得原方程的通解：．C为任意常数1.1.2函数变换法设是（1.0）式的解，则对两边求导得：，将上式代入方程得：，整理得：………（1.1）令解得：，将其代入（1.1）式得

4、：，整理得：，两边积分得：，故伯努利方程的通解为：．C为任意常数1.1.3求导法令，对上式两边求导得：，即有：，代入（1.0）式得：．令，．解得：，．这时伯努利方程变为，解得.于是得到伯努利方程的通解为：．C为任意常数1.1.4恰当导数法令，有，即：．则（1.0）式变形为：，，，，设得：，（可分离变量微分方程）．两边积分解之得：，用，，回代得伯努利方程的通解为：．C为任意常数1.2直接常数变易法常数变易法一：（1.0）式的齐次方程的通解为：．设原方程（1.0）式的通解为：，代入（1.0）式得：．这是一个可分离变量的微分方程，可求出．即：，则

5、原方程的通解为:．C为任意常数常数变易法二：本方法的创新之处是先解方程………（1.2）,利用变量分离法解式（a）得：y=(1-n)[]，现把常数c变易为待定的函数c(x),即y=(1-n)[（x）]………(1.3),对式(b)两边求微分得：……（1.4）,由（1.0）、(1.3)、（1.4）式得。利用一阶线性方程的通解公式得………（1.5），把式（1.5）代入式(1.3)得,利用分部积分公式，令，，则伯努利方程的通解为.C为任意常数。当n>0时，方程还有解y=0.1.3积分因子法将（1.0）式两端同除以整理为：………（1.6）有．则：，只是

6、关于的函数，则其积分因子为，，将乘以(1.6)式得：…………（1.7）对（1.7）式右边进行凑微分得：两边同时积分得：，整理得：令c=/(1-n)从而伯努利方程的通解为：．C为任意常数1.4解法举例利用上面各种求解方法求解方程的通解解：现将方程变为标准型的伯努利方程，即………解法一（变量代换、常数变易法）：在两边同除以得：令，则由的通解经常数变易得的通解为(C为任意常数)解法二（函数变换法）：令y=u(x)v(x)为式的通解由上述讲解知：,令c=-c，则(C为任意常数)解法三（求导法）：令由上述讲解知：(C为任意常数)方法四（恰当导数法）：

7、令由上述讲解知：令c=-c，则(C为任意常数)方法五（直接常数变易法）：（一）、对式的其次方程的通解进行常数变易，从而得式的通解的通解为经常数变易后设为式的通解，即(C为任意常数)（二）、先求的通解，然后再利用常数变易法求式的通解由上述讲解知：(C为任意常数)六（积分因子法）：化简题目中的方程为：………,式的积分因子为为全微分方程(C为任意常数)注：从以上解法中可以看出：总体上运用了三种方法，即变量代换法、常数变易法、积分因子法。变量代换法的解题思路是将一阶非线性微分方程化为一阶线性非齐次方程或变量可分离方程。常数变易法的解题思路是将一阶非

8、线性微分方程所对应的齐次方程的通解中的常数变成关于的函数，再代回原方程得一变量可分离方程。积分因子法的关键就是找到积分因子，将伯努利方程凑成全微分方程。例题中的六种解法，最容易先