一维波动方程的达朗贝尔解法.pdf

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1、一维波动方程的达朗贝尔解法在求解常微分方程时，一般先求方程通解，通解含有任意常数，再利用初始条件确定这些常数。本节介绍的行波法仿照这个办法求解偏微分方程定解问题。先求偏微分方程的通解，而通解含有任意函数，在利用定解条件确定这些函数。行波法是求解无界域内定解问题的有效方法，但是只适用于很少数的定解问题，如波动方程。第七章行波法2一.一维波动方程的达朗贝尔解法考虑无限长的弦(无界弦)的自由振动问题22u2ua,x,t022txux(,0)(),xxux(,0)(),xt没有边界条件第七章行波

2、法3注：无限长的弦(无界弦)的物理意义物理系统总是有限的，必然有边界，要求边界条件。以弦振动问题为例，弦总是有限长的，由两个端点。如果着重研究靠近一端的那段弦，那么，在不太长的时间里，另一端的影响还没来得及传到，不妨认为另一端的边界条件不存在，或者说另一端在无限远，当然就无需提出另一端的边界条件了。这样，有限长的真实的弦抽象成半无界弦。如果着重研究不靠近两个端点的那段弦，不妨认为两个端点都不存在，或者说两端都在无限远，也就无需提出边界条件了。这样有限长的真实弦抽象成无界的弦。第七章行波法422u2ua022tx222该方程的特征方程

3、为dxadt0,xat这就提示我们作如下变换，xat则方程化为只含二阶混合偏导数的下述标准形式：2uu0即0u将方程先对积分一次可得f()再对积分一次可得uf()dG()F()G().第七章行波法522u2u回到原来的变量x及t，得到泛定方程a022tx的解的一般形式，即其通解为uxt(,)Fxat()Gxat()其中F及G为任意的单变量的二阶连续可微函数。由上式可见，自由弦振动方程的解可以表示为形如F(x-at)与G(x+at

4、)的两个函数之和。第七章行波法6物理解释方程的形如u=F(x-at)或u=G(x+at)的解称为行波。其中u=F(x-at)描写的是沿x轴正方向传播的行波(右传播波)。改用以速度a沿x轴正方向移动的坐标轴X,则动坐标X和静坐标x之间的关系是X=x-at于是，F(x-at)=F(X)这是说，在动坐标系中，函数的值只取决于坐标X,而跟时间无关。即函数的图像相对于动坐标系保持不变，即随着动坐标以速度a沿x正方向移动，这正是行波。u=G(x+at)则表示以速度a向左传播的波，称为左传播波。第七章行波法7FxFxat右传播波atGxatG

5、x左传播波at第七章行波法8弦振动方程的通解uxt(,)Fxat()Gxat()的物理意义为：对于无限长的弦的自由振动，任意扰动总是以行波的形式向左右两个方向传播出去，波速为a。aT/弦张得越紧，弦的线密度越小，则波速越快。第七章行波法9至于行波的具体波形，当然和它的“历史”有关，即取决于初始条件ux(,0)(),xux(,0)().xt通解中代入初始条件，可得F(x)G(x)(x),（1）aF'(x)aG'(x)(x).（2）将(1)式两端关于x求导一次，得F'(x)G'(x)'(x).（3）1由(

6、2)(3)两式，解得F'(x)(a'(x)(x)),2a1G'(x)(a'(x)(x)).2a第七章行波法10再将以上两式在[0,x]积分得11xFx()(()x(0))()dF(0),22a011xGx()(()x(0))()dG(0).22a0由Fx()Gx()(),x得(0)F(0)G(0)0于是原定解问题的解为uxt(,)Fxat()Gxat()(xat)(xat)1xat()d22a01xat()dF(0)G(0)

7、(0)2a0第七章行波法11无限长的弦(无界弦)的自由振动问题22u2ua,x,t022txux(,0)(),xxux(,0)(),xt(xat)(xat)1xat解为u(xt,)()d22axat上式称为达朗贝尔公式。第七章行波法12例求解弦振动方程的柯西问题22uu0(t0,x)22txux(,0)ux(,0)x,sin(xx)t解：由达朗贝尔公式可得其解为11xtu(x,t)((xt)(xt

8、))sind22xt1xtx(cos)xsinsinxtxt2第七章行波法13二.齐次化原理考虑无界弦的强迫振动问题22