达朗贝尔方程及其解

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1、标量位与矢量位设媒质是线性均匀且各向同性的，那么对微分形式的麦克斯韦方程中全电流定律两边取旋度，再将电磁感应定律代入，整理后得若对电磁感应定律两边取旋度，再将全电流定律代入，整理后得利用矢量恒等式，同时考到及，那么上述两式变为8/9/20211由此可见，时变电磁场的场强与场源的关系比较复杂，直接求解上述方程需要较多的数学知识。为简化求解过程，引入标量位与矢量位作为求解时变电磁场的两个辅助函数。已知时变磁场是无散场，因此可以表示为矢量场A的旋度，即可令式中A称为矢量位。将上式代入式中，得8/9/202

2、12上式又可改写为由此可见，矢量场为无旋场。因此它可以用一个标量场的梯度来表示，即可令式中称为标量位。由此得注意，这里的矢量位A及标量位均是时间及空间函数。当它们与时间无关时，矢量位A及标量位与场量的关系和静态场完全相同。因此矢量位A又称为矢量磁位，标量位又称为标量电位。8/9/20213位函数与源的关系为了导出位函数与源的关系，根据位函数定义式及麦克斯韦方程，求得利用矢量恒等式，上两式又可写为8/9/20214根据亥姆霍兹定理得知，只有当矢量场的散度及旋度共同给定后，这个矢量场才被惟一地确定。已知

3、规定了矢量场A的旋度，，必须再规定其散度。原则上，其散度值可以任意给定，但是为了简化计算，由上式可知，若令则前两式可以简化为罗伦兹条件由上可见，按照罗伦兹条件规定A的散度后，原来两个相互关联的方程变为两个独立方程。矢量位A仅与电流J有关，标量位仅与电荷有关。8/9/20215由上可见，已知电流分布，即可求出矢量位A。已知电荷分布，由即可求出标量位。求出A及以后，即可求出电场与磁场。麦克斯韦方程的求解归结为位函数方程的求解，而且求解过程显然得到了简化。因为原来电磁场方程为两个结构复杂的矢量方程，在三

4、维空间中需要求解六个坐标分量，而位函数方程分别为一个矢量方程和一个标量方程，且结构较为简单，在三维空间中仅需求解四个坐标分量。尤其在直角坐标系中，矢量位方程可以分解为三个结构如同标量位方程一样的标量方程。因此，实际上等于求解一个标量方程。由此可见，位函数A及的引入显著地简化了麦克斯韦方程的求解。8/9/20216函数方程的直接求解需要较多的数学知识，我们根据静态场的结果，采用类比的方法，推出其解。位函数方程的求解当场源是位于坐标原点的时变点电荷时，其场分布一定具有球对称特点，即场量仅为变量r的函数，

5、与球坐标变量及无关。那么，在除坐标原点以外整个空间，位函数满足的方程式为首先求解标量位函数方程。为此设场源是位于坐标原点的时变点电荷，求出其解后，采用叠加原理推出任意分布的时变体电荷的解。式中8/9/20217上式为函数（r）的齐次波动方程，其通解为由后面分析可以获知，式中第二项不符合实际的物理条件，应该舍去。因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量电位为已知位于原点的静止点电荷产生的电位为将此式同上式比较，可见函数f1为:8/9/20218因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量位为式中r为体

6、元dV至场点的距离。对于位于V中的任意体分布电荷，如图示。r'rzyxm(r,t)VdV'r'-r0点电荷的位置矢量为r'，则全部电荷在r处产生的电位由上式积分求得8/9/20219为了求出矢量位函数A，可将矢量位函数方程在直角坐标系中展开，则各个分量均满足结构相同的非齐次标量波动方程式，即显然，对于每一个分量均可求得结构如同前式的解。三个分量合成后，矢量位A的解为式中V'为电流J的分布区域。8/9/202110首先两式均表明，空间某点在时刻t产生的标量位或矢量位必须根据时刻的场源分布函数进行求

7、积。换言之，位于r处t时刻的场强不是由同一时刻t的源的分布决定的，而是取决于比t时刻超前时刻的源分布。这就意味着，位于r处的源产生的场传到r处需要一段时间，这段时差就是。已知(r-r’)为源点至场点的距离，因此v代表电磁波的传播速度。8/9/202111恒定电流或低频交流电的情况下，场量往往是通过电流、电压及负载阻抗等参数表现，表面给人造成能量是通过电荷在导线内传输的假象。I如能量真是通过电荷在导线内传输，常温下导体中的电荷运动速度约10-5m/s，电荷由电源端到负载端所需时间约是场传播时间（L/

8、c）的亿万倍负载只需经过极短（t=L/c，其中c为光速）的时间就能得到能量的供应。8/9/202112由式可见，电磁波的传播速度与媒质特性有关。在真空中，最新测得的数据为这就是光波在真空中的传播速度，或简称为光速。光速通常以c表示。值得注意的是，既然空间场强不是取决于同一时刻的源特性，那么即使在同一时刻源已消失，只要前一时刻源还存在，它们原来产生的空间场强仍然存在，这就表明源已将电磁能量释放到空间，而空间电磁能量可以脱离源单独存在，这种现象称为电磁辐射。8/9/202