动态电路方程及其解

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1、1.电容元件电容的VAR电容元件的特点*电压有变化，才有电流。电容具有隔直流作用。*电容电压具有连续性，不能跃变。*电容有“记忆”电压的作用。电容是无源元件。上节回顾2.电感元件电感的VAR电感元件的特点*电流有变化，才有电压。*电感的电流具有连续性，不能跃变。*电感有“记忆”电流的作用。电感是无源元件。包含至少一个动态元件（电容或电感）的电路为动态电路。含有一个独立的动态元件的电路为一阶电路。（电路方程为一阶常系数微分方程）含有二个独立的动态元件的电路为二阶电路。（电路方程为二阶常系数微分方程）含有三个或三个以上独立的动态元件的电路为高阶电路。（电路方程为高阶常系

2、数微分方程）3.2动态电路方程及其解换路、暂态与稳态的概念换路：电路结构或参数发生突然变化。稳态：在指定条件下电路中的电压、电流已达到稳定值。有两类稳态电路：直流稳态电路：电路中电流电压均为恒定量。正弦稳态电路：电路中电流电压均为正弦交流量。暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态的过渡过程。过渡过程产生的原因：外因换路；内因有储能元件。稳态暂态暂态3.2.1动态电路方程一阶常系数微分方程1.RC电路一阶常系数微分方程2.RL电路二阶常系数微分方程3.RLC电路一般而言，若电路中含有n个独立的动态元件，那么描述该电路的微分方程是n阶的，称为n阶电路。例：求解方程解

3、：特征方程特征根通解代入初始条件，得原问题的解为3.2.2动态电路方程解1.初始值的计算讨论初始值的原因:初始值用来完全确定微分方程的解。动态电路中，要得到待求量，就必须知道待求量的初始值。而相应的微分方程的初始条件为电流或电压的初始值。动态电路的初始状态与初始值t0+和t0-t0时刻换路，则t0-为换路前的瞬间，t0+为换路后的瞬间（称为换路后的初始时刻）。独立初始值uC(t)和iL(t)为电路的独立状态变量。T0+时刻的uC(0＋)和iL(0＋)为电路的原始状态，它们反映了换路前电路所储存的能量。独立初始值：uC(0＋),iL(0＋)非独立初始值：t0+时刻其它

4、u(0＋),i(0＋)值。t0时刻换路，换路前一瞬间记为t0-，换路后一瞬间记为t0+。当t=t0+时，电容电压uC和电感电流iL分别为换路定律注意：除uC(0＋)和iL(0＋)外，其他各电流和电压在换路前后可以跃变。求初始值的简要步骤如下：(1)0-的独立初始值。由t＜0时的电路，求出uC(0-),iL(0-)；画出0+等效电路；在t=0+时，用电压等于uC(0+)的电压源替代电容元件，用电流等于iL(0+)的电流源替代电感元件，独立电源均取t=0+时的值。(3)由0+等效电路，求出非独立初始值（各电流、电压的初始值）。(2)0+的独立初始值。根据换路定律求出uC

5、(0+)、iL(0+)。初始值的确定例1解：(1)由换路前电路求由已知条件知(2)根据换路定律得：已知：换路前电路处稳态，C、L均未储能。试求：电路中各电压和电流的初始值。S(a)CUR2R1t=0+-LiC、uL产生突变(3)由t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值SCUR2R1t=0+-L(a)电路iL(0+)UiC(0+)uC(0+)uL(0+)_u2(0+)u1(0+)i1(0+)R2R1+++__+-(b)t=0+等效电路电容元件可视为短路电感元件可视为开路例2电路如图所示。在开关闭合前，电路已处于稳定。当t=0时开关闭合，求初始值i1(0+)，i2(

6、0+)和iC(0+)。解：(1)求uC(0-)。由于开关闭合前电路稳定，duC/dt=0，故iC=0，电容可看作开路。t=0-时电路如图，(2)根据换路定律有＝12V(3)由0+等效电路，计算各电流的初始值。例3：已知换路前已达稳态，求uL(0＋)、i(0＋)、i1(0＋)和iL(0＋)。解：(3)由0＋等效电路可求得(1)换路前(2)根据换路定律例4电路如图所示，t=0时开关S由1扳向2，在t＜0时电路已处于稳定。求初始值i2(0+)，iC(0+)。解：(1)换路前(3)由0+等效电路，计算其余初始值。(2)根据换路定律有uC(0-)=U0sRU+_C+_iuc实

7、质：RC电路的充电过程2.微分方程经典解法(方程的通解=方程的特解+对应齐次方程的通解)1.uC的变化规律(1)列KVL方程uC(0-)=U0sRUs+_C+_iuc(2)解方程求特解：求对应齐次微分方程的通解通解即：的解微分方程的通解为确定积分常数A根据换路定则在t=0+时，（3）uC的变化规律稳态分量仅存在于暂态过程中tU0+Uso零输入响应零状态响应3.、变化曲线t2.电流iC的变化规律UsU03.直流电源作用一阶动态电路的三要素法如果用f(t)表示激励us,用y(t)表示响应uC或iL设全响应y(t)的初始值为y(0+)A=y(0+)-yp(0+)电路