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1、第卷第期青海大学学报#自然科学版∃7&+89#∃8!!∀年!月%&∋()∗+&,−.)/0∗.1).23(4.56:3;!!∀线性规划问题方程排序求最优解法李长征#青海大学经济系∃提要通过目标函数沿梯度正方向变化时在线性规划问题可行域边界超平面法向量方向变化大小的度量,给出,。了线性规划问题最优解的一个充分条件提出了一种解线性规划问题的方法方程排序求最优解法—关键词线性规划最优解方程排序法问题的引入设线性规划问题()∗<4=3><>?3≅<≅满足约束条件,,=Α.=,Α有唯一最优解
2、。其可行。域如图中阴影部分所示将约束不等式改为等式>∗.<?∗ΑΑ<Β=Χ≅∗<+?∗Α<=Χ<+=Δ<≅=Ε上述方程组中!个方,程从上到下依次与图中,,,。#∃‘#%&∋∀∀∀∀对应方程()#∋#∗+∀对与图中直线应。直线∀沿其梯度正方向平移至可行域内任意位,,置得直线),∋∀(%#∋#∗,#收稿日期−−.年.月.日Β第期李长征线性规则问题方程排序求最优解法Η、Ι、、Κ、Λ。。。Ι与可行域边界直线相交于ϑ过这点按下述方法作图以Ι点为例说明
3、过,,,。,,作ΙΙ’垂直于直线+交+于Ι’过Ι’作ΙΜ垂直于直线ΝΟ>交Ν二于Μ记Ι’Μ=0≅ΙΙ’=ΠΣ,<+十处<ΒΝ,,=。+<,?ΡΡ直线ΘΝ二则ΠΡΣΑ、ΤΥ不=的法向量分别记为育和时振夏礴3+<>?Ρ甘Τ。、,%ϑ≅<Β是目标函数在Ι点的函数值过Ι作两向量节才和时间夹角−Β即为直线Ν和场时,‘。,,的夹角匕ΙΙΜ=ς按两向量间夹角余弦公式ϑΕ:−Β=在Ω5△ΙΙ’位时∃Υ#Ρ才ΡΤ时Τ∃,。,Μ中0Β=ΠΣ&4−≅一般地Σ+<+?ΣΒ<Β二:+Ξ的交点处可得0Ξ=在直线与可行域边界直线
4、,,ΠϑΕ:−.#.=Α⋯∃且,。#∃Π为定值时0是−的减函数,=,#Α∃−为定值时由0Ρ3+<+?叱<ΒΡΥΡ育卜ϑ#∃:−得3+<+?3Β<Β=0Ρ甘ΤΥϑ#∃:−可知目标。函数绝对值是0的单调增函数由#∃#Α∃可得如下结论声是目标函数沿梯度正方向变化时在可行域边界直线法向量方向。变化大小的度量=,,。,』记−Ο。Τ其对应“==,则目标函数沿梯度正方向变化时在+的法翼剑卜囚翼。,,,线方向增大最快同理除0Ο外目标函数沿梯度正方向变化时在直线ΝΨ#镇Ψ簇Ψ笋Ο∃法线。,%Ψ。方向增
5、大次之因此线性规划最大值问题的最优解一定是可行域两边界直线Ν和Ν的交点Α线性规划问题最优解的充分条件设线性规划问题∗<“ΟΖ4马鸡戮满足约束条件,‘.=‘Υ+Θ周∗.Ο<Ο勃‘,<」∃ΕΟ=>Α⋯)将约束条件改为方程组一∗。=,<ΟΧ..=Α⋯Ζ戮Τ<%=Ε,,,方程组中从上到下各超平面法向量依次为苛#=Α8二ΖΖ十8二Ζ十)∃目标超平面:%。“Β<Ο法向量为育哥‘,’。ΒΞ“=』‘二‘Α”十“Ξ定义“Ρ<Ο+ΥΡ).Ν#Ζ∃“是目标函数沿梯ΠΣ&4−.举同鼠命川司。度正方向变化时在线性规
6、划问题可行域第.个边界超平面法向量方向变化大小的度量0Ξ的。性质同一中#∃#Α∃Β线性规划问题最优解的充分条件线性规划最大值问题最优顶点是目标超平面法向量与可行域边界超平面法向量夹角依次。,一:=一最小的)个超平面的交点线性规划最小值问题中将目标函数变为Ζ∗<#∃皿ΣΟ<Ο求8第卷第7&Γ89#∃期青海大学学报#自然科学版∃!!∀年!月%&∋()∗+&,−.)/0∗.1).23(4.士6:3;8!!∀解,最小值为:&Β求最优解的方法步骤8首先检查约束条件中是否有无效约束,若有,将其从
7、约束条件中剔除。Α8Ξ=,=,Α⋯Ζ),Ξ。求出3#∃:−挤贫∃Υ#Ρ才ΡΡ矿+∃#.?∃按ϑ#∃:−从大到小排6,%实际计算中只须按伏,矿∃Υ+贫Γ。的大小排列8将矿对应的约束方程依,贫,取其前)个方程联立求解。方院∃ΥΡ贫Ρ的大小按序排出程排。序求解法见下而实例几个实例Β例解线性规划问题&<48<+?88888Ζ=心[ΔΔΑ∴处?ΔΑ翔?Δ∀Α为?Δ][犯?Δ]Δ鞠满足约束条件·Ε·Δ‘<‘?。Δ‘<≅十Δ·Δ‘<十。·Ε⊥‘十。·。<?Δ·Δ“镇ΔΡ∴。·ΔΑ<‘?Δ·Δ<[簇∀Δ
8、ΔΤ。·ΔΑ<Α十Δ·Ε4<4落‘ΔΔ··ΔΔ⊥?ΔΔ∴<]簇!ΔΔ,义<Ο∃Ε#Ο=Α⋯]∃。约束不等式变方程组后计算结果列表表方程序号+#+∃#Α∃#∃#[∃#∃#]∃#∀∃#∴∃#!∃8888二__⎯8一一Δ[ΔΑ∴ΔΑΔ∀ΑΔ8][一兰二生髯黯Τ厂节子芍∴ΔΒ〔注方程序号从方程组第一个方程依次给出∃Β从表由方程排序号得约束方程排序为,,#∃#Α∃#∃#[∃#4∃#!∃#Δ∃#∃#]∃#∀∃取前]个方程#+∃#Α∃#∃#[∃#4∃#!∃联立求
