微积分导数的概念及运算法则

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1、主讲教主讲教师：师：李晓沛李晓沛Tel:13878971026Tel:138789710261第二章导数与微分第1节导数概念2导数概念导数产生的背景导数定义求导举例导数的几何意义可导与连续的关系3一.导数产生的背景1.1.物理背景物理背景2.2.几何背景几何背景41.物理背景变速直线运动路程物体作匀速直线运动时,有,速度＝，时间S即V这一速度其实是物体走完某一段路程T的平均速度，平均速度记作V.由于匀速运动物体的速度是不变的，因此VV.5由于变速直线运动物体的速度V(t)是变的，因此，用这个公式算出的平均速度V不能真实反映物体在时刻t的瞬时速度V

2、(t).000S如何求V(t0)?如图S(t0)S(t0+t)在[t,t+t]这段时间内物体的平均速度为00SS(tt)S(t)S00V(t)V.V0tttt越小，近似值就越接近精确值V(t).V(t0)=?0SS(tt)S(t)V(t)lim000limt0tt0t62.几何背景—平面曲线的切线问题平面曲线上切线的概念Q曲线L在点P处点切线为点Q沿曲线L趋向点P时割线PQ的极限位置PTQP线割T切点PL切线PT7定义定义平面曲线y=f(x)的切线：曲线在点A(x,y)处的切线

3、AT为过曲线上00点A的任意一条割线AA’当点A’(x+x,y+y)00沿曲线趋近于点A时的极限位置.切线方程:yAyy0k(xx0,)T其中,yf(x)yAktanBxlimtanx0ylim.Oxx0x8小结小结解决与速度变化或变化率相关问题的步骤:(1)建立一个函数关系y=f(x)xI.(2)求函数由x到x+x的平均变化率：00yf(xx)f(x)00;xx(3)求x0的极限：yf(xx)f(x)00limlim.x0xx0x9二.导数的概念1.导数的定义定

4、义定义设函数f(x)在U(x)有定义,且x+xU(x).000f(xx)f(x)y如果极限lim00lim存在,x0xx0x则称函数f(x)在点x处可导,极限值a称为f(x)在0点x处的导数.记为0df(x)dyy

5、'a,0a.f(x0)a，xx0a，xx0dxdx10如果函数f(x)在点x处可导,则0f(x)f(x)0f('x)lim;0xx0xx0f(xx)f(x)y00f(x)limlim0x0xx0x11f(xx)f(x)00注注1.1.若lim存在，则称x0

6、xf(x)在x可导(或称f(x)在x的导数存在).00否则，称f(x)在x不可导(或称f(x)在0x的导数不存在).特别0f(xx)f(x)00若lim(不可导)，x0x也称f(x)在x的导数为无穷大.0122.左、右导数定义定义设函数f(x)在[x0,x0+)内有定义,若yf(xx)f(x)00limlimax0xx0x则称a为f(x)在点x0处的右导数.记为f(x0)a.设函数f(x)在(x-,x],内有定义,若00yf(xx)f(x)00且limlimax0xx0

7、xf(x)a则称a为f(x)在点x处的左导数.记为00定理定理f(x0)af(x0)f(x0)a133.导函数定义定义若x(a,b),函数f(x)皆可导,则说f(x)在(a,b)内可导.这时f(x)是关于x的一个新函数,称之为f(x)在(a,b)内的导函数.通常我们仍称之为f(x)在(a,b)内的导数：记为f(x).即yf(xx)f(x)f(x)limlimx0xx0xdydf(x)f的导数还可记为y,,.dxdx14定义定义若f(x)在(a,b)内可导,且存f(a,)f(b)在,

8、则称f(x)在[a,b]上可导,f(x)称为f(x)在[a,b]上的导函数,简称为导数.函数在点x0I处的导数:f(x0)f(x)xx0先求导、后代值先求导、后代值..154.求函数的导数yf(xx)f(x)由f(x)limlim可知x0xx0xy求导数可分为如下几步：1.写出函数的增量f(xx)f(x)f(x)limx0x3.求极限2.算比值16设在某极限过程中,(x),0则2(x)sin(x)~(x)1cos(x)~tan(x)~(x)2ln(1(x))~(x)(x)

9、(x)e1~(x)a1~(x)lna(x)(x)n1(x)1~m1((x))1~n