《微积分一》导数的基本公式与运算法则.ppt

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1、一、函数的和、差、积、商的求导法则二、反函数的导数三、基本初等函数的导数四、复合函数的导数§3.3导数的基本公式与运算法则五、隐函数的导数六、对数求导法八、综合举例七、由参数方程所确定的函数的导数一、函数的和、差、积、商的求导法则如果u(x)、v(x)都是x的可导函数则它们的和、差、积、商(分母不为零时)也是x的可导函数并且[u(x)v(x)]u(x)v(x)[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)特别地[cu(x)]cu(x)公式的推广(u1u2un)u1u2u

2、n(u1u2un)u1u2unu1u2unu1u2un二、反函数的导数设函数yf(x)在点x处有不等于0的导数f(x)并且其反函数xf1(y)在相应点处连续则[f1(y)]存在并且简要证明这是因为三、基本初等函数的导数1常数的导数(c)0这是因为1(c)02幂函数的导数这是因为1(c)03指数函数的导数(ax)axlna(ex)ex这是因为4对数函数的导数1(c)03(ax)axlna(ex)ex5三角函数的导数(s

3、inx)cosx这是因为1(c)03(ax)axlna(ex)ex5三角函数的导数这是因为1(c)03(ax)axlna(ex)ex1(c)03(ax)axlna(ex)ex6反三角函数的导数这是因为函数yarcsinx与xsiny互为反函数所以由反函数的求导公式得5(sinx)cosx(cosx)sinx(tanx)sec2x(cotx)csc2x(secx)secxtanx(cscx)cscxcotx5(sinx)

4、cosx(cosx)sinx(tanx)sec2x(cotx)csc2x(secx)secxtanx(cscx)cscxcotx1(c)03(ax)axlna(ex)ex基本导数公式课前复习1.导数的几何意义？切线方程？2.可导与连续的关系？可导连续反之不成立！例1.计算下列函数的导数.001）4）5）6）7）8）2）3）____)(2=¢e解：解：例2.解：解：=解：解：解：解：四则运算的求导法则除了直接应用公式外，有时需要将表达式适当变形后再应用公式.注.引例1引例2?四、复合函数的

5、导数设u(x)在点x处可导yf(u)在对应点u处可导则复合函数yf[(x)]在点x处也可导，且其导数为简要证明推广设yf(u)u(v)v(x)则复合函数y{[(x)]}对x的导数是四、复合函数的导数设u(x)在点x处可导yf(u)在对应点u处可导则复合函数yf[(x)]在点x处也可导，且其导数为因此因此四、复合函数的导数若yf[(x)]u(x)则解设ylnuusinx则例11求函数ylnsinx的导数解例12求函数yarcsin(3x2)的导数解y(ax)

6、例10求函数yax的导数axlnaaxlna(x)解解练习五、隐函数的导数显函数隐函数解例15求由方程y22px所确定的隐函数yf(x)的导数将方程两边同时对x求导得2yy2p解出y即得隐函数的求导法则解将方程两边同时对x求导得例16求由方程yxlny所确定的隐函数yf(x)的导数解出y即得解将方程两边同时对x求导得解出y得例17求由方程eyxy所确定的隐函数y的导数eyyyxy解例18由方程x2xyy24确定y是x的函数求其曲线上点(2,2)处

7、的切线方程将方程两边同时对x求导得2xyxy2yy0解出y即得所求切线的斜率为ky

8、x2,y21于是所求切线为y(2)1(x2)即yx4求下列隐函数的导数：1）2）3）练习六、取对数求导法将函数yf(x)两边取对数转化为隐函数求导这种方法称之为“取对数求导法”解例19求函数yxx的导数法一.yxxexlnxxx(lnx1)exlnx(lnx1)将yxx两边取对数lnyxlnx两边对x求导数得于是得yy(lnx1)xx(lnx1)法二.解先在两边取对

9、数得上式两边对x求导得例20.思考：具有什么特征的显函数用对数求导法较好？1.幂指函数2.