[数学]微积分导数的概念及运算法则ppt课件.ppt

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1、微积分主讲教师：李晓沛1第二章导数与微分第1节导数概念2导数产生的背景导数定义求导举例导数的几何意义导数概念可导与连续的关系3一.导数产生的背景1.物理背景2.几何背景4变速直线运动物体作匀速直线运动时,有,这一速度其实是物体走完某一段路程的平均速度，平均速度记作V.由于匀速运动物体的速度是不变的，因此1.物理背景5由于变速直线运动物体的速度V(t)是变的，因此，用这个公式算出的平均速度V不能真实反映物体在时刻t0的瞬时速度V(t0).如何求V(t0)?如图SS(t0)S(t0+t)0在[t0,t0+t]这段时间内物体的

2、平均速度为t越小，近似值就越接近精确值V(t0).V(t0)=?6平面曲线上切线的概念割线PQ切线PT切点2.几何背景—平面曲线的切线问题7沿曲线趋近于点A时的极限位置.平面曲线y=f(x)的切线：曲线在点A(x0,y0)处的切线AT为过曲线上点A的任意一条割线AA’当点A’(x0+x,y0+y)定义切线方程:其中,8(1)建立一个函数关系y=f(x)xI.(2)求函数由x0到x0+x的平均变化率：解决与速度变化或变化率相关问题的步骤:(3)求x0的极限：小结9设函数f(x)在U(x0)有定义,且x0+xU(x0

3、).则称函数f(x)在点x0处可导,极限值a称为f(x)在如果极限存在,点x0处的导数.记为定义1.导数的定义二.导数的概念10如果函数f(x)在点x0处可导,则11存在，则称f(x)在x0可导(或称f(x)在x0的导数存在).否则，称f(x)在x0不可导(或称f(x)在x0的导数不存在).特别注1.若12设函数f(x)在[x0,x0+)内有定义,若则称a为f(x)在点x0处的右导数.记为2.左、右导数定义则称a为f(x)在点x0处的左导数.记为定理设函数f(x)在(x0-,x0],内有定义,若133.导函数若x(a,b)

4、,函数f(x)皆可导,则说f(x)在(a,b)内可导.这时f(x)是关于x的一个新函数,称之为f(x)在(a,b)内的导函数.通常我们仍称之为f(x)在(a,b)内的导数：定义14函数在点x0I处的导数:若f(x)在(a,b)内可导,且存在,则称f(x)在[a,b]上可导,f(x)称为f(x)在[a,b]上的导函数,简称为导数.先求导、后代值.定义154.求函数的导数求导数可分为如下几步：1.写出函数的增量2.算比值3.求极限1617例118或重要极限和差化积等价无穷小（仿照正弦函数的推导方法）1920(x)'=

5、x121总结225.导数的几何意义此时,切线方程为:函数f(x)在点x0的导数f(x0)就是对应的平面曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率k:`5.导数的几何意义23切线平行于x轴：曲线y=f(x)在点x0处的切线可能平行于x轴、垂直于x轴、或不存在,所反映出的导数值是：切线垂直于x轴：（曲线为连续曲线）在点x0处无切线：f(x0)不存在.24yOxx0y=cf(x0)=0yOxf(x0)=x0Oxyx0yOxx0f(x0)不存在f(x0)不存在25在任意一点x处,有在点(1,1)处故所求切线方程为：

6、求曲线y=x2上任意一点处切线的斜率,并求在点(1,1)处的切线方程.即y=2x–1.y–1=2(x–1),例2解26三可导与连续的关系设f(x)在点x0可导,即有于是故只是必要条件！无穷小27y=

7、x

8、在点x=0连续,但不可导.故f(0)不存在.y=

9、x

10、Oxy例3解28在点x=0处的连续性和可导性.又当nN时,函数在在点x=0处连续.例4解29当n=1时,不存在,故n=1时,函数在x=0处不可导.当n>1时,故n>1时,函数在x=0处可导.其导数为30f(x)在x=0处可导,从而f(x)=1+bx,x≤0e–x,x>0

11、f(0)=1f(x)在x=0处连续,f(0)=a.解设a+bx,x0求a,b之值.e–x,x>0y=在x=0可导,练习31由可导性：故b=–1,此时函数为f(x)=1x,x≤0e–x,x>0f(x)=1+bx,x≤0e–x,x>0f(0)=132练习P46习题2-1一、1，333第二章导数与微分第2节求导法则和基本公式34定理和、差、积、商的求导法则35推论36例1解例2解37例3解同理可得38例4解同理可得39例5解4041注意:分段函数求导时,分界点导数用左右导数求.42例求曲线上与轴平行的切线方程.令切点为所求切线方程为

12、和解43练习题44作业习题看书预习第二章第一、二节第一章第二、三节P46习题2-11.（2）6.（3）P53习题2-21（2）2.(4)（7）（9）45