二维带边界偏导数值的复化数值积分公式

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1、第3O卷第3期大学数学Vo1．30。№．32014年6月CoLLEGEMATHEMATICSJun．2014二维带边界偏导数值的复化数值积分公式董灏，聂玉峰(西北工业大学理学院，陕西西安710129)[摘要]构建了一类二维带边界偏导数值的复化数值积分公式，给出了所建立的两种数值积分公式的稳定性分析、误差分析和代数精度．与二维复化四点高斯数值积分公式相对比，所建立的带边界偏导数值的复化梯形、复化辛普森求积公式在达到相同精度时所需积分节点大大减少，积分的时间复杂度也随之大大减少，实例验证结果良好．[

2、关键词]边界偏导数值；复化梯形；复化辛普森；积分精度；积分节点[中图分类号]O2414[文献标识码]A[文章编号]1672—1454(2014)03—0031—071引言众所周知，在科学工程计算中需要进行大量的定(重)积分的计算，但常常很难得到积分的精确值，只能求其近似值，因而研究和构造高精度有效的数值积分公式非常有意义．本文通过在原有的复化梯形、复化辛普森公式的基础上通过添加被积函数未被利用的偏导数值，充分利用被积函数的自身信息，并利用同一内结点上相邻区间公式中偏导数项的系数互相抵消这一特点，

3、得到了比复化高斯数值积分公式精度更高，所需积分节点大大减少的数值积分公式．2二维情形下公式的建立和分析在文献[2]中已建立了一重积分If(x)dx的带端点导数值的Hermite数值积分公式，具体公式如下：If(x)dx—I-f(-1)+厂(1)]+寺·If'(-1)一f(1)]+·f“()，∈[一1，1]．(1)J—lu-V1厂()d一1一15·[7厂(一1)+16f(0)+7，(1)]+击·If(一1)一(1)]+·，’(，刁∈[一1，1]．(2)利用积分变换和累次积分就可以建立二维情形下的带

4、边界偏导数值的复化求积公式，下面给出公式的建立过程．2．1二维情形下数值积分公式的建立考虑到二维情况下二：重积分的积分域相比一维情况复杂得多．文章以矩形域为研究对象，因为对于复杂的积分域也可以通过积分区间变换或者区间划分来产生矩形积分域，如可将圆形积分域通过参数变换(，)一(r，)变为矩形积分域；曲线边界积分域可通过矩形网格逼近，剩余的非矩形区域用其它积分公式如三角形上的数值积分公式计算．[收稿日期]2o13—09—16[基金项目]陕西高等教育教学改革研究项目(13BY12)32大学数学第30卷

5、二维情彤卜矩彤域上的带边界偏导数值的复化梯形、复化平晋森数值积分公式只需要在二重积分累次积分时使用两次一维情形下的带端点导数值的Hermite数值积分公式(1)，(2)就可以得到，即-r：Ir：，，dd—j'：(-r：厂z，．)，d)d．下面给出积分区间为[n，6]×[c，]上的二重积分．r，(z，)dd的带边界偏导数值的复化梯形、复化辛普森数值积分公式．2．1．1二维带边界偏导数值的复化梯形公式记四点点集G一{(一1，一1)，(一1，1)，(1，一1)，(1，1)}，记点P为集合G内的点，定义

6、算符，8，8，一{_1’；萎i，，一；嚣，’，f一1，P一(1，一1)或(一1，1)，。一11，P一(一1，一1)或(1，1)．利用公式(1)在参考单元[一1，1]×[一1，1]上可建~r-重积分的数值积分公式如下所示：．r。J'厂c，dzd一二I(j．，c，．)，dz)d≈Ef(P)+1·∑(p)·(户)+1·∑()·fy(P)+百1·∑()·厶(户)声∈Gu∈GuPEGJPEG一丁(，)．(3)如果将积分区间[口，6]×[c，]中z方向等分为rl等份，Y方向等分为等份，子区域面积为h。×h，

7、其中h===，h一d-~．记积分节点的横纵坐标分别为mxf一口+(一1)·h1(一1，2，⋯，+1)，yJ—c+(一1)·h2(一1，2，⋯，m+1)，并记F(，7／)一，[z+(+1)·h虿i，』+(+1)·]，利用公式(3)，则得到区域[n，6]×[c，]上二重积分的复化数值积分公式为¨，)d州d3，：==曼∑nH-1jfYj+I捌妇d一蓦·c一·喜Tc一T1+T2+丁3+T4，其中T1表示含有区域积分节点函数值的项，T2表示含有边界积分节点关于z偏导数值的项，T3表示含有边界积分节点关于Y

8、偏导数值的项，T4表示含有四个端点关于，Y混合偏导数值的项，具体如下：T一等·等·4·奎厂(z，j)+··[，(。，。)+，(，)+，(计，)+厂(计。，卅)]i=2j=2+·．2．{，⋯洲+n)+]}．T2=．．2．奎[(，)一(z，)]+笪12··[(z，)一(，j，1)+(z。，)一(。，。)]．一．．2．~Ffy(，，)一(z。，)]第3期董灏，等：二维带边界偏导数值的复化数值积分公式33+篙·h2L．[(z1，)一(，)+(z井，．y)一(z计，m+)]．T4一笺·hA12-[厶(Xl