数值分析复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序.docx

《数值分析复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、数值分析第五次程序作业PB09001057孙琪【问题】分别编写用复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序；用如上程序计算积分：If=04sinxdx取节点xi，i=0,…,N,N为2k,k=0,1,…,12，并分析误差；简单分析你得到的数据。【复化Simpson积分公式】Simpson法则：abfxdx≈b-a6[fa+4fa+b2+fb]使用偶数个子区间上的复合Simpson法则：设n是偶数，xi=a+ih,h=b-an,(0≤i≤n)则有abfxdx=x0x2fxdx+x2x4fxdx+…+xn-2xnfxdx=i=1n2x2i-2x2ifxdx

2、将Simpson法则应用于每一个区间，得到复合Simpson法则：abfxdx≈h3[fx0+2i=2n2fx2i-2+4i=1n2fx2i-1+fxn]公式的误差项为：-1180b-ah4f4(δ)其中δ∈(a,b)【复化梯形积分公式】梯形法则：对两个节点相应的积分法则称为梯形法则：abfxdx≈b-a2[fa+fb]如果划分区间[a,b]为：a=x0

3、i=a+ih，复合梯形法则具有形式：abfxdx≈h2[fa+2i=1n-1fa+ih+fb]误差项为：-112b-ah2f''(δ)【算法分析】复合Simpson法则和复合梯形法则的算法上述描述中都已介绍了，在此不多做叙述。【实验】通过Mathematica编写程序得到如下结果：1.利用复化Simpson积分公式得：可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的Simpson公式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用Simpson法则去逼近，而每一段的误差都是由函数在该区间内4阶导数值和区间长度的4次方乘积决定的，当每一段小区间越来越小时，相应的每一段小

4、区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越来越好。1.利用复化梯形积分公式得：可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的梯形公式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用梯形法则去逼近，而每一段的误差都是由函数在该区间内2阶导数值和区间长度的2次方乘积决定的，当每一段小区间越来越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越来越好。【分析】通过对上述两种法则的效果来看，复合Simpson法则的误差要比复合梯形法则收敛到0更快，说明复合Simpson法则逼近到原来的解更快，这主要是因为在每一段小区间内，复合Simpson法则利

5、用得是Simpson法则，复合梯形法则利用得是梯形法则，前者的误差项要比后者的误差项小很多，因此造成了逼近速度的不一样。【程序】Mathematica程序为：复合Simpson法则：复合梯形法则：