数值积分中点公式的改进

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1、第23卷第3期天津理工大学学报Vol.23No.32007年6月JOURNALOFTIANJINUNIVERSITYOFTECHNOLOGYJun.2007文章编号:16732095X(2007)0320056204数值积分中点公式的改进吴天毅(天津科技大学理学院,天津300222)摘要:根据某些函数的特性,通过改变单节点数值积分公式中节点的位置,对数值积分中点公式进行了改进,得到两个单节点高精度数值积分公式,由此可以极大的提高近似计算的精度.关键词:数值积分;代数精度;截断误差中图分类号:O241.83文献标识码:AImprovingonth

2、enumericalintegrationformulawithameanpointWUTian2yi(CollegeofSience,TianjinUniversityofSienceandTechnology,Tianjin300222,China)Abstract:Withthefeaturesoffunctions,thenumericalintegrationformulawithameanpointhasbeenimprovedbyimpro2vingthelocationofthepoint,andtheadvancedpreci

3、sionformulaswithasinglepointhavebeenabtained,andtheprecisionofthecalulationresulthasbeenimproved.Keywords:numericalintegration;algebraprecision;truncationerror问题的提出满意的是计算精度比较低.本文的工作就是在保留在数值积分公式中,最简单易算的就是数值积式(1),(2)单节点的前提下,通过对式(1),(2)的[122]分中点公式.改进来大幅度提高近似计算的精度.定理1如果函数f(x)在闭区

4、间[a,b]上连续,主要结论在开区间(a,b)内有二阶连续导数,则定理3如果函数f(x)在[a,b]上有直到n+2b3(k)a+b(b-a)阶连续导数,且f(a)=0(k=1,2,L,n),那么有f(x)dx=(b-a)f()+f′′(ξ),a∫224b∫f(x)dx=(b-a)f[a+θ(b-a)]+(a<ξ

5、a≤x≤b,c≤y≤d}上连续,在D内有二阶连续n+1偏导数,则式1(3)中θ=,ξ∈(a,b)n

6、+2a+bc+df(x,y)dxdy=(b-a)(d-c)f(,)+∫∫22证明:由于f(x)在[a,b]上有直到n+2阶导D(b-a)(d-c)22数,故可将f(x)在x=a处进行泰勒展开,又由于[(b-a)fxx(ξ,η)+(d-c)fyy(k)24f(a)=0(k=1,2,L,n),故f(x)在x=a处的泰[3](ξ,η)](ξ,η)∈D(2)勒展开式为(n+1)式(1),(2)之所以简单易算,其主要原因就在f(a)n+1f(x)=f(a)+(x-a)+于它们只用到了一个节点,而式(1),(2)不能令人(n+1)!收稿日期:2006203

7、221.作者:吴天毅(1955—),男,教授.2007年6月吴天毅:数值积分中点公式的改进·57·(n+2)(n+2)f(ξ1)n+2由于f(x)在[a,b]上连续,由介值定理知,有(x-a),x∈[a,b](n+2)!ξ∈(a,b)使得式中(n+2)n+3,ξ1介于a和x之间,故ξ1∈(a,b),对上式两边f(ξ2)n+2(n+2)(b-a)-θf(ξ1)=积分有(n+3)(n+2)!b(n+1)(n+2)f(a)n+2f(ξ)1n+2n+3∫f(x)dx=(b-a)f(a)+(b-a)+-θ(b-a)a(n+2)!(n+2)!n+3(n+2

8、)b(ξ)n+1f1(x-a)n+21n+11∫dx(4)令-θ=0’得θ=,显然0<θ<1,a(n+2)!n+2n+2(n+2)(n+2)由于f(x)在[a,b]连续,故f(x)在[a,n+11因此当取θ=时有b]上有最大值M和最小值m,从而有n+2b(n+2)(ξ)bm(n+3)f1(b-a)≤(x-∫f(x)dx-(b-a)f[a+θ(b-a)]+(n+3)!a∫(n+2)!a(n+2)(n+2)Mn+3f(ξ)1n+2(b-a)n+3a)dx≤(b-a)-θ(n+3)!(n+2)!n+3再由连续函数的介值定理知,有ξ2∈(a,b)得证毕

9、.(n+2)(n+2)bf(ξ1)(n+2)f(ξ2)显然式(3)是单节点数值积分公式,它不仅简∫(x-a)dx=(b-a(n+2)!(n+3)!单易